边框回归损失函数
有关IoU损失函数，如(GIoU, DIoU, CIoU)没有考虑到真实框与预测框框之间的方向，导致收敛速度较慢，对此SIoU引入真实框和预测框之间的向量角度，重新定义相关损失函数，具体包含四个部分：
（1）角度损失(Angle cost)，定义如下
Λ
=
1
−
2
∗
sin
2
(
arcsin
(
c
h
σ
)
−
π
4
)
=
cos
(
2
∗
(
arcsin
(
c
h
σ
)
−
π
4
)
)
\Lambda = 1-2*\sin^2(\arcsin(\frac{c_h}{\sigma}) - \frac{\pi}{4})=\cos(2*(\arcsin(\frac{c_h}{\sigma}) - \frac{\pi}{4}))
Λ=1−2∗sin2(arcsin(σch)−4π)=cos(2∗(arcsin(σch)−4π))
其中
c
h
c_h
ch为真实框和预测框中心点的高度差，
σ
\sigma
σ为真实框和预测框中心点的距离，事实上
arcsin
(
c
h
σ
)
\arcsin (\frac{c_h}{\sigma})
arcsin(σch)等于角度
α
\alpha
α
c
h
σ
=
sin
(
α
)
\frac{c_h}{\sigma}=\sin(\alpha)
σch=sin(α)
σ
=
(
b
c
x
g
t
−
b
c
x
)
2
+
(
b
c
y
g
t
−
b
c
y
)
2
\sigma = \sqrt{(b_{c_x}^{gt}-b_{c_x})^2+(b_{c_y}^{gt}-b_{c_y})^2}
σ=(bcxgt−bcx)2+(bcygt−bcy)2
c
h
=
max
(
b
c
y
g
t
,
b
c
y
)
−
min
(
b
c
y
g
t
,
b
c
y
)
c_h = \max(b_{c_y}^{gt}, b_{c_y}) - \min(b_{c_y}^{gt}, b_{c_y})
ch=max(bcygt,bcy)−min(bcygt,bcy)
( b c x g t , b c y g t ) (b_{c_x}^{gt}, b_{c_y}^{gt}) (bcxgt,bcygt)为真实框中心坐标 ( b c x , b c y ) (b_{c_x}, b_{c_y}) (bcx,bcy)为预测框中心坐标，可以注意到当 α \alpha α为 π 2 \frac{\pi}{2} 2π或0时，角度损失为0，在训练过程中若 α < π 4 \alpha < \frac{\pi}{4} α<4π，则最小化 α \alpha α，否则最小化 β \beta β
（2）距离损失(Distance cost)，定义如下：
Δ
=
∑
t
=
x
,
y
(
1
−
e
−
γ
ρ
t
)
=
2
−
e
−
γ
ρ
x
−
e
−
γ
ρ
y
\Delta = \sum_{t=x,y}(1-e^{-\gamma\rho_t})=2-e^{-\gamma\rho_x}-e^{-\gamma\rho_y}
Δ=t=x,y∑(1−e−γρt)=2−e−γρx−e−γρy
其中：
ρ
x
=
(
b
c
x
g
t
−
b
c
x
c
w
)
2
,
ρ
y
=
(
b
c
y
g
t
−
b
c
y
c
h
)
2
γ
=
2
−
Λ
\rho_x = (\frac{b_{c_x}^{gt} - b_{c_x}}{c_w})^2, \quad \rho_y= (\frac{b_{c_y}^{gt} - b_{c_y}}{c_h})^2 \quad \gamma = 2 - \Lambda
ρx=(cwbcxgt−bcx)2,ρy=(chbcygt−bcy)2γ=2−Λ
注意：这里的
(
c
w
,
c
h
)
(c_w, c_h)
(cw,ch)为真实框和预测框最小外接矩形的宽和高
（3）形状损失(Shape cost)，定义如下：
Ω
=
∑
t
=
w
,
h
(
1
−
e
−
w
t
)
θ
=
(
1
−
e
−
w
w
)
θ
+
(
1
−
e
−
w
h
)
θ
\Omega = \sum_{t=w, h}(1-e^{-w_t})^\theta=(1-e^{-w_w})^\theta+(1-e^{-w_h})^\theta
Ω=t=w,h∑(1−e−wt)θ=(1−e−ww)θ+(1−e−wh)θ
其中：
w
w
=
∣
w
−
w
g
t
∣
max
(
w
,
w
g
t
)
,
w
h
=
∣
h
−
h
g
t
∣
max
(
h
,
h
g
t
)
w_w=\frac{|w-w^{gt}|}{\max(w, w^{gt})}, \quad w_h=\frac{|h-h^{gt}|}{\max(h, h^{gt})}
ww=max(w,wgt)∣w−wgt∣,wh=max(h,hgt)∣h−hgt∣
(
w
,
h
)
(w, h)
(w,h)和
(
w
g
t
,
h
g
t
)
(w^{gt}, h^{gt})
(wgt,hgt)分别为预测框和真实框的宽和高，
θ
\theta
θ控制对形状损失的关注程度，为了避免过于关注形状损失而降低对预测框的移动，作者使用遗传算法计算出
θ
\theta
θ接近4，因此作者定于
θ
\theta
θ参数范围为[2, 6]
（4）IoU损失(IoU cost)
I
o
U
=
交
集
A
并
集
B
IoU=\frac{交集A}{并集B}
IoU=并集B交集A
综上所诉，最终SIoU损失函数定义如下：
L
o
s
s
S
I
o
U
=
1
−
I
o
U
+
Δ
+
Ω
2
Loss_{SIoU}=1-IoU+\frac{\Delta + \Omega}{2}
LossSIoU=1−IoU+2Δ+Ω
有关SIoU得代码实现如下(来源美团yolov6)：
elif self.iou_type == 'siou':
# SIoU Loss https://arxiv.org/pdf/2205.12740.pdf
'''
预测框和真实框坐标形式为xyxy，即左下右上角坐标或左上右下角坐标
'''
s_cw = (b2_x1 + b2_x2 - b1_x1 - b1_x2) * 0.5 #真实框和预测框中心点的宽度差
s_ch = (b2_y1 + b2_y2 - b1_y1 - b1_y2) * 0.5 #真实框和预测框中心点的高度差
sigma = torch.pow(s_cw ** 2 + s_ch ** 2, 0.5) #真实框和预测框中心点的距离
sin_alpha_1 = torch.abs(s_cw) / sigma #真实框和预测框中心点的夹角β
sin_alpha_2 = torch.abs(s_ch) / sigma #真实框和预测框中心点的夹角α
threshold = pow(2, 0.5) / 2 #夹角阈值
sin_alpha = torch.where(sin_alpha_1 > threshold, sin_alpha_2, sin_alpha_1) #α大于45°则考虑优化β，否则优化α
angle_cost = torch.cos(torch.arcsin(sin_alpha) * 2 - math.pi / 2) #角度损失
rho_x = (s_cw / cw) ** 2
rho_y = (s_ch / ch) ** 2
gamma = angle_cost - 2
distance_cost = 2 - torch.exp(gamma * rho_x) - torch.exp(gamma * rho_y) #距离损失
omiga_w = torch.abs(w1 - w2) / torch.max(w1, w2)
omiga_h = torch.abs(h1 - h2) / torch.max(h1, h2)
shape_cost = torch.pow(1 - torch.exp(-1 * omiga_w), 4) + torch.pow(1 - torch.exp(-1 * omiga_h), 4) #形状损失
iou = iou - 0.5 * (distance_cost + shape_cost) #siou
loss = 1.0 - iou
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