图神经网络（GNN）目前的主流实现方式就是节点之间的信息汇聚，也就是类似于卷积网络的邻域加权和，比如图卷积网络（GCN）、图注意力网络（GAT）等。下面根据GCN的实现原理使用Pytorch张量，和调用torch_geometric包，分别对Cora数据集进行节点分类实验。

　　Cora是关于科学文献之间引用关系的图结构数据集。数据集包含一个图，图中包括2708篇文献（节点）和10556个引用关系（边）。其中每个节点都有一个1433维的特征向量，即文献内容的嵌入向量。文献被分为七个类别：计算机科学、物理学等。

GCN计算流程

　　对于某个GCN层，假设输入图的节点特征为$X\in R^{|V|\times F_{in}}$，边索引表示为序号数组$Ei\in R^{2\times |E|}$，GCN层输出$Y\in R^{|V|\times F_{out}}$。计算流程如下：

　　0、根据$Ei$获得邻接矩阵$A_0\in R^{|V|\times |V|}$。

　　1、为了将节点自身信息汇聚进去，每个节点添加指向自己的边，即 $A=A_0+I$，其中$I$为单位矩阵。

　　2、计算度（出或入）矩阵 $D$，其中 $D_{ii}=\sum_j A_{ij}$ 表示第 $i$ 个节点的度数。$D$为对角阵。

　　3、计算对称归一化矩阵 $\hat{D}$，其中 $\hat{D}_{ii}=1/\sqrt{D_{ii}}$。

　　4、构建对称归一化邻接矩阵 $\tilde{A}$，其中 $\tilde{A}= \hat{D} A \hat{D}$。

　　5、计算节点特征向量的线性变换，即 $Y = \tilde{A} X W$，其中 $X$ 表示输入的节点特征向量，$W\in R^{F_{in}\times F_{out}}$ 为GCN层中待训练的权重矩阵。

　　即：

$Y=D^{-0.5}(A_0+I)D^{-0.5}XW$

　　在torch_geometric包中，normalize参数控制是否使用度矩阵$D$归一化；cached控制是否缓存$D$，如果每次输入都是相同结构的图，则可以设置为True，即所谓转导学习（transductive learning）。另外，可以看到GCN的实现只考虑了节点的特征，没有考虑边的特征，仅仅通过聚合引入边的连接信息。

GCN实验

调包实现

　　Cora的图数据存放在torch_geometric的Data类中。Data主要包含节点特征$X\in R^{|V|\times F_v}$、边索引$Ei\in R^{2\times |E|}$、边特征$Ea\in R^{|E|\times F_e}$等变量。首先导出Cora数据：

from torch_geometric.datasets import Planetoid

cora = Planetoid(root='./data', name='Cora')[0]
print(cora)

　　构建GCN，训练并测试。

import torch
from torch import nn
from torch_geometric.nn import GCNConv
import torch.nn.functional as F
from torch.optim import Adam


class GCN(nn.Module):
  def __init__(self, in_channels, hidden_channels, class_n):
    super(GCN, self).__init__()
    self.conv1 = GCNConv(in_channels, hidden_channels)
    self.conv2 = GCNConv(hidden_channels, class_n)

  def forward(self, x, edge_index):
    x = torch.relu(self.conv1(x, edge_index))
    x = torch.dropout(x, p=0.5, train=self.training)
    x = self.conv2(x, edge_index)
    return torch.log_softmax(x, dim=1)

model = GCN(cora.num_features, 16, cora.y.unique().shape[0]).to('cuda')
opt = Adam(model.parameters(), 0.01, weight_decay=5e-4)

def train(its):
  model.train()
  for i in range(its):
    y = model(cora.x, cora.edge_index)
    loss = F.nll_loss(y[cora.train_mask], cora.y[cora.train_mask])
    loss.backward()
    opt.step()
    opt.zero_grad()

def test():
  model.eval()
  y = model(cora.x, cora.edge_index)
  right_n = torch.argmax(y[cora.test_mask], 1) == cora.y[cora.test_mask]
  acc = right_n.sum()/cora.test_mask.sum()
  print("Acc: ", acc)

for i in range(15):
  train(1)
  test()

　　仅15次迭代就收敛，测试精度如下：

张量实现

　　主要区别就是自定义一个My_GCNConv来代替GCNConv，My_GCNConv定义如下：

from torch import nn
from torch_geometric.utils import to_dense_adj

class My_GCNConv(nn.Module):
  def __init__(self, in_channels, out_channels):
    super(My_GCNConv, self).__init__()
    self.weight = torch.nn.Parameter(nn.init.xavier_normal(torch.zeros(in_channels, out_channels)))
    self.bias = torch.nn.Parameter(torch.zeros([out_channels]))
  
  def forward(self, x, edge_index):
    adj = to_dense_adj(edge_index)[0]
    adj += torch.eye(x.shape[0]).to(adj)
    dgr = torch.diag(adj.sum(1)**-0.5)
    y = torch.matmul(dgr, adj)
    y = torch.matmul(y, dgr)
    y = torch.matmul(y, x)
    y = torch.matmul(y, self.weight) + self.bias
    return y

　　其它代码仅将GCNConv修改为My_GCNConv。

对比实验

MLP实现

　　下面不使用节点之间的引用关系，仅使用节点特征向量在MLP中进行实验，来验证GCN的有效性。

import torch
from torch import nn
import torch.nn.functional as F
from torch.optim import Adam

class MLP(nn.Module):
  def __init__(self, in_channels, hidden_channels, class_n):
    super(MLP, self).__init__()
    self.l1 = nn.Linear(in_channels, hidden_channels)
    self.l2 = nn.Linear(hidden_channels, hidden_channels)
    self.l3 = nn.Linear(hidden_channels, class_n)

  def forward(self, x):
    x = torch.relu(self.l1(x))
    x = torch.relu(self.l2(x))
    x = torch.dropout(x, p=0.5, train=self.training)
    x = self.l3(x)
    return torch.log_softmax(x, dim=1)

model = MLP(cora.num_features, 512, cora.y.unique().shape[0]).to('cuda')
opt = Adam(model.parameters(), 0.01, weight_decay=5e-4)

def train(its):
  model.train()
  for i in range(its):
    y = model(cora.x[cora.train_mask])
    loss = F.nll_loss(y, cora.y[cora.train_mask])
    loss.backward()
    opt.step()
    opt.zero_grad()

def test():
  model.eval()
  y = model(cora.x[cora.test_mask])
  right_n = torch.argmax(y, 1) == cora.y[cora.test_mask]
  acc = right_n.sum()/cora.test_mask.sum()
  print("Acc: ", acc)

for i in range(15):
  train(30)
  test()

　　可以看出MLP包含了3层，并且隐层参数比GCN多得多。结果如下：

　　精度收敛在57%左右，效果比GCN的79%差。说明节点之间的链接关系对节点类别的划分有促进作用，以及GCN的有效性。