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c++ - 用于字符串匹配算法的大 O 表示法

coder 2024-01-31 原文

函数 foo 的大 O 表示法是什么？

int foo(char *s1, char *s2)
{
   int c=0, s, p, found;
   for (s=0; s1[s] != '\0'; s++)
   {
      for (p=0, found=0; s2[p] != '\0'; p++)
      {
         if (s2[p] == s1[s])
         {
            found = 1;
            break;
         }
      }
      if (!found) c++;
   }
   return c;
}

函数foo的效率如何？

a) O(n!)

b) O(n^2)

c) O(n lg(base2) n )

d) O(n)

我会说 O(MN)...？

最佳答案

它是 O(n²) 其中 n = max(length(s1),length(s2)) (可以在小于二次的时间内确定 - 见下文)。我们来看一个教科书的定义:

f(n) ∈ O(g(n)) if a positive real number c and positive integer N exist such that f(n) <= c g(n) for all n >= N

通过这个定义，我们看到 n 代表一个数字——在这种情况下，这个数字是传入的字符串的长度。但是，有一个明显的差异，因为这个定义只提供了一个变量函数 f (n) 在这里我们清楚地传入了 2 个具有独立长度的字符串。因此，我们搜索 Big O 的多变量定义。然而，正如 Howell 在 "On Asymptotic Notation with Multiple Variables" 中所证明的那样。 :

"it is impossible to define big-O notation for multi-variable functions in a way that implies all of these [commonly-assumed] properties."

Big O with multiple variables 实际上有一个正式的定义。但是，这需要满足单个变量 Big O 之外的额外约束，并且超出了大多数(如果不是全部)算法类(class)的范围。对于典型的算法分析，我们可以通过将所有变量绑定(bind)到限制变量 n 来有效地将函数简化为单个变量。在这种情况下，变量(特别是 length(s1) 和 length(s2))显然是独立的，但可以绑定(bind)它们:

方法一

Let x1 = length(s1)
Let x2 = length(s2)

此函数的最坏情况发生在没有匹配项时，因此我们执行 x1 * x2 迭代。

因为乘法是可交换的，所以最坏情况 foo(s1,s2) == 最坏情况 foo(s2,s1)。因此，我们可以不失一般性地假设 x1 >= x2。 (这是因为，如果 x1 < x2="">

方法2(如果你不喜欢第一种方法)

对于最坏的情况(其中 s1 和 s2 不包含公共(public)字符)，我们可以在遍历循环之前确定 length(s1) 和 length(s2)(在 .NET 和 Java 中，确定 a string 是 O(1) - 但在这种情况下是 O(n))，将较大的分配给 x1，将较小的分配给 x2。这里很明显 x1 >= x2。

对于这种情况，我们将看到确定 x1 和 x2 的额外计算使 O(n² + 2n) 我们使用以下简化规则 which can be found here简化为 O(n²):

If f(x) is a sum of several terms, the one with the largest growth rate is kept, and all others omitted.

结论

对于 n = x1(我们的限制变量)，使得 x1 >= x2，最坏的情况是 x1 = x2。 因此:f(x1) ∈ O(n²)

额外提示

对于所有 homework problems posted to SO related to Big O notation ，如果答案不是以下之一:

O(1)
O(log log n)
O(log n)
O(n^c), 0<c<1
O(n)
O(n log n) = O(log n!)
O(n^2)
O(n^c)
O(c^n)
O(n!)

那么问题是可能最好发布到 https://math.stackexchange.com/

关于c++ - 用于字符串匹配算法的大 O 表示法，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/6372561/

表示法ampcodestrongsectionc++stringalgorithmbig-o

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