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Lorenz系统、简单的Rossler系统和Chua电路系统的混沌吸引子——MATLAB实现

MATLAB机器学习 2023-10-12 原文

1.Lorenz系统

美国著名气象学家E.N.Lorenz在1963年提出来的用来刻画热对流不稳定性的模型，即Lorenz混沌模型，可以简单描述如下：
{ x ˙ = a ( y − x ) y ˙ = c x − x z − y z ˙ = x y − b z \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=a\left( y-x \right)\\ \dot{y}=cx-xz-y\\ \dot{z}=xy-bz\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧​x˙=a(y−x)y˙​=cx−xz−yz˙=xy−bz​
当参数取值为 a = 10 , b = 8 3 , c = 28 a=10,b=\frac{8}{3},c=28 a=10,b=38​,c=28时，Lorenz系统有一个混沌吸引子，如下图所示：

其数值仿真实现代码如下：

clear;clc;
[T,Y] = ode45(@Lorenz,[0 300],[0.1;0.1;0.1]);
hold on
plot3(Y(:,3),Y(:,1),Y(:,2),'b','LineWidth',0.5);
view(-30,40);
xlabel('z(t)','FontName','Times New Roman','FontSize',15);
ylabel('x(t)','FontName','Times New Roman','FontSize',15);
zlabel('y(t)','FontName','Times New Roman','FontSize',15);
hold off
function dy = Lorenz(~,y)
a=10;  
b=8/3; 
c=28;
dy = zeros(3,1);   
 % a column vector
dy(1) = a*(y(2) - y(1));
dy(2) = -y(1) * y(3)+c*y(1)-y(2);
dy(3) = y(1) * y(2)-b*y(3);
end

2.Rossler系统

O.E.Rossler构造了几个简单但具有混沌行为的非线性方程组，其中最具有代表性的是他在1976年提出的如下方程组：
{ x ˙ = − ( y + z ) y ˙ = x + a y z = z ( x − c ) + b \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=-\left( y+z \right)\\ \dot{y}=x+ay\\ z=z\left( x-c \right) +b\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧​x˙=−(y+z)y˙​=x+ayz=z(x−c)+b​
其中参数 a = b = 0.2 a=b=0.2 a=b=0.2，而参数 c c c常取下列数值之一：
2 , 2.3 , 3.5 , 4.7 , 5.0 , 5.7 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 2,2.3,3.5,4.7,5.0,5.7,6,7,8,9,10,11 2,2.3,3.5,4.7,5.0,5.7,6,7,8,9,10,11
我们在此处取 c = 5.7 c=5.7 c=5.7,得到如下图所示的Rossler混沌吸引子。值得注意的是，Rossler系统比Lorenz系统简单，而且他们拓扑不等价，即不存在任何同胚变换把一个系统变成另一个系统。

其数值仿真实现代码如下：

clear;clc;
[T,Y] = ode45(@Rossler,[0 500],[0.1;0.1;0.1]);
hold on
plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'b','LineWidth',0.5);
view(-30,40);
xlabel('x(t)','FontName','Times New Roman','FontSize',15);
ylabel('y(t)','FontName','Times New Roman','FontSize',15);
zlabel('z(t)','FontName','Times New Roman','FontSize',15);
hold off
function dy = Rossler(~,y)
a=0.2;  
b=0.2; 
c=5.7;
dy = zeros(3,1);   
 % a column vector
dy(1) = -(y(2) + y(3));
dy(2) = y(1) + a * y(2);
dy(3) = y(3) * (y(1)-c)+b;
end

Chua电路

L.O.Chua构造的Chua电路是第一个能够真正能够用物理手段实现的混沌系统。其电路方程可以改写成如下形式的无量纲标准型：
{ x ˙ = p ( − x + y − f ( x ) ) y ˙ = x − y + z z ˙ = − q y \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=p\left( -x+y-f\left( x \right) \right)\\ \dot{y}=x-y+z\\ \dot{z}=-qy\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧​x˙=p(−x+y−f(x))y˙​=x−y+zz˙=−qy​这里： f ( x ) = m ~ 0 x + 1 2 ( m ~ 1 − m ~ 0 ) ( ∣ x + 1 ∣ − ∣ x − 1 ∣ ) f\left( x \right) =\tilde{m}_0x+\frac{1}{2}\left( \tilde{m}_1-\tilde{m}_0 \right) \left( \left| x+1 \right|-\left| x-1 \right| \right) f(x)=m~0​x+21​(m~1​−m~0​)(∣x+1∣−∣x−1∣)
其中， m ~ 0 < 0 , m ~ 1 < 0 \tilde{m}_0<0,\tilde{m}_1<0 m~0​<0,m~1​<0，下图展示了Chua电路的双卷波混沌吸引子，其中参数为：
p = 10.0 , q = 14.87 , m ~ 0 = − 0.68 , m ~ 1 = − 1.27 p=10.0,q=14.87,\tilde{m}_0=-0.68,\tilde{m}_1=-1.27 p=10.0,q=14.87,m~0​=−0.68,m~1​=−1.27

其数值仿真实现代码如下：

clear;clc;
[T,Y] = ode45(@Chua,[0 500],[0.1;0.1;0.1]);
hold on
plot3(Y(:,3),Y(:,1),Y(:,2),'b','LineWidth',0.5);
view(-30,40);
xlabel('z(t)','FontName','Times New Roman','FontSize',15);
ylabel('x(t)','FontName','Times New Roman','FontSize',15);
zlabel('y(t)','FontName','Times New Roman','FontSize',15);
hold off
function dy = Chua(~,y)
p = 10;
q = 14.87;
m0 = -0.68;
m1 = -1.27;
dy = zeros(3,1); 

dy(1) = p*(-y(1)+y(2)-(m0*y(1)+0.5*(m1-m0)*(abs(y(1)+1)-abs(y(1)-1))));
dy(2) = y(1)-y(2)+y(3);
dy(3) = -q*y(2);
end
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