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ios - 当所有 3 个坐标都可以在对象坐标系中变化时查找 3D 坐标

coder 2024-01-19 原文

我在对象坐标系中有目标的 4 个共面点的 3D 坐标。我在视频的每一帧中也有它们的 2D 坐标。我还计算了相机的内在参数 (M)，使用 solvepnp() 的对象坐标系和相机坐标系之间的 R(旋转)和 t(平移)矩阵。 我读过from here完整的过程，很清楚。和我遵循的过程也很相似。所以我想用同样的方程


s [u v 1]T = M ( R [X Y Z]T + t)

用于计算我的 3D 坐标，但我没有常量，正如链接解释的那样用于计算 s。我的目标在 OpenCV 坐标系中绕 x 轴旋转。我的问题是 -

  1. 谁能建议我找到 s 的方法？对于此计算，它绝对是强制性的还是我可以使用 s=1？
  2. 是否有任何其他方法可以使用我拥有的参数计算 3d 点？


最佳答案

变量 s 有一个特定的含义:一个 2D 点和它的 3D 反投影之间存在一对多的对应关系。换句话说，有无数个可能的 3D 点位于最终终止于或从 u、v、f 方向上的像素发射的光线上。这就是 s 的含义:只是一对多关系的指示符。

似乎 Francesco 谈到了当度量重建在规模上不明确时运动结构的一般情况。然而，问题可能完全不同。让我换个说法，告诉我我是否做对了:你有一个你知道的静态对象坐标系。您有一个目标在该系统中绕 X 轴旋转，并且您知道该系统中零旋转时 4 个点的 3d 坐标。要在旋转后获得新的 3D 坐标，您只需要一个旋转角度，同时您将获得一组已知点的 2D 投影。这是一项简单的任务；如果这是你真正想要的。

为什么任务很简单？每个点都会产生两个约束，如 u= v=;未知的数量是一个 - 角度所以一个点足以计算它。知道这个角度后，您可以旋转已知的 3D 点来更新它们的坐标。总的来说只需要 1 分就可以解决这个问题:

  1. 将针孔相机方程的两边与左侧的固有矩阵的逆相乘以去除固有参数。你最终会得到这样的结果: s’ [u’ v’ 1]T = A [X Y Z]T + t, 其中 A=R*Ralpha

  2. 从技术上讲，Ralpha - 我们的未知数 - 仅取决于角度 alpha，但由于相关性是非线性的，我们可以使用具有 2 个条目的矩阵的线性乘法:s = sin(alpha) 和 c = cos(alpha) , alpha - 绕 x 轴旋转的角度

              1  0   0
Ralpha =  0  c  -s
          0  s   c

  3. 通过注意 s' = a31X + a32Y + a32Z + 去掉 s' tz 并将其插入两个约束中:

    s'u' = (a31X + a32Y + a32Z + tz)u' = a11X + a12Y + a13Z + tx

    s'v' = (a31X + a32Y + a32Z + tz)v' = a21X + a22Y + a23Z + ty

现在找到矩阵 A 是求解线性方程组 Kx=b 的简单任务，其中通过重新排列项我们有

b = [tx-tzu', ty-tzv'] T,

x = [a11, a12, a13, a21, a 22, a23, a31, a32, a33]T

对于单点对应K是

-X, -Y, -Z, 0,   0,  0, Xu’, Yu’, Zu’
 0,  0,  0, -X, -Y, -Z, Xv’, Yv’, Zv’

但是如果有更多的对应关系，可以添加更多的行。 用伪逆求解得到 x = (KTK)-1KTb, 可以通过二次残差的非线性最小化进一步优化。

在计算出 x 并用它重新组装 A 后，您必须确保它是一个真正的旋转矩阵。通常这是通过 SVD 完成的:A=ULVT 然后重新分配 A=UVT。最后，获取 Ralpha = RTA，它为您提供了一个旋转矩阵，您可以将其应用于已知的 3D 坐标以获取它们在对象坐标系中的新值或使用整个矩阵 A 来获取它们在相机坐标系中。

这可能看起来很困惑，但它是一组典型的步骤，用于获取外部相机参数，并且您已经完成了这些步骤(尽管您可能使用了库函数)。

关于ios - 当所有 3 个坐标都可以在对象坐标系中变化时查找 3D 坐标，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/22034440/

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