关于实变函数中德摩根定律和集合列上下极限的一些讨论

jlx142857 2024-03-15 原文

本文内容来自作者本人在学习《实变函数与泛函分析基础》一书过程中的一些思考。

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前言

前言

实变函数论是克服黎曼可积函数狭隘性的重要理论。本文简要对实变函数论中集合论的部分中的两个内容——德-摩根定律和集合列的上下极限进行一些讨论。由于本人非理学专业，从工科视角出发的理解、语言和表达可能都不甚严谨，望读者海涵。

一、德-摩根定律

1.概率论与逻辑代数

在概率论中，对于一个事件 $A$ ，将“事件 $A$ 不发生”这一事件记为 $\overline{A}$ ；加入另一个事件 $B$ ，将“事件 $A$ 和事件 $B$ 同时发生”这一事件记为 $AB$ ；将“事件 $A$ 和事件 $B$ 至少有一个发生”这一事件记为 $A\cup B$ ；如果事件 $A$ 和事件 $B$ 是同一个事件，则有 $A=B$ 。则有形如以下的德摩根定律：

$\overline{AB}=\overline{A}\cup \overline{B}$

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\, \overline{B}$

当有无穷多个事件时，仍有类似的定律成立。

在数字电子技术的逻辑代数理论中，逻辑表达式或逻辑变量 $A$ 和 $B$ 之间也有类似描述。在定义逻辑表达式或变量间的“与”、“或”、“非”运算时，由于任何一个逻辑表达式只有0或1两种取值，故采用“真值表”的形式定义。对于任意一种已知的逻辑运算符和相应的操作数取值，都可通过真值表获取其运算后的值。

基本逻辑运算真值表
	$A$	$B$	$A+B$ （A或B）	$AB$ （A与B）	$\overline{A}$ （A非）
1	0	0	0	0	1
2	0	1	1	0	1
3	1	1	1	1	0
4	1	0	1	0	0

此时，仍有类似的德摩根定律，亦可通过真值表求证。

德摩根定律真值表
	$A$	$B$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A+B}$ （A或非B）	$\overline{A}\, \overline{B}$	$\overline{AB}$ （A与非B）	$\overline{A}+\overline{B}$
1	0	0	1	1	1	1	1	1
2	0	1	1	0	0	0	1	1
3	1	1	0	0	0	0	0	0
4	1	0	0	1	0	0	1	1

不难看出，表中第6列和第7列真值保持一致，第8列和第9列真值保持一致，即有下式成立。

$\overline{A+B}=\overline{A}\, \overline{B}$

$\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}$

在工程实际中，利用德摩根定律可以有效简化或转化数字电路中各类门电路的使用，降低电路的复杂度或提升可行性。

2.集合论

首先，在描述多个集合的并集时，常用指标集的概念辅助描述。设有一族集合 $\left \{ A_{\alpha}:\alpha\in \Lambda \right \}$ ，其中 $\alpha$ 是在固定指标集 $\Lambda$ 中变化的指标。在这里，指标可以理解为集合的“下标”，指标集 $\Lambda$ 可以理解为“下标的集合”。则由一切 $A_\alpha$ $\left ( \alpha \in \Lambda \right )$ 的所有元素组成的集合称为这族集合的并集，并用如下的方式表示：

$\bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{}A_{\alpha}=\left \{ x:\exists \, \alpha \in \Lambda, \, s.t.\,x \in A_\alpha \right \}$

指标集 $\Lambda$ 常为 $\left \{ 1,2,\cdot \cdot \cdot ,k \right \}$ 或 $\left \{ 1,2,\cdot \cdot \cdot \right \}$ ，前者为有限集，后者为无限集。

同理，对于多个集合的交集，也有类似的结论：

$\bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{}A_{\alpha}=\left \{ x:\forall \, \alpha \in \Lambda, \, x \in A_\alpha \right \}$

值得一提是，虽然和本文所讲的内容没什么直接联系，但是我们也可以简要回顾一下我们在工科数学分析中所学过的两个不太起眼的定理。

(1) 有限覆盖定理：若 $\left \{ I_\alpha:\alpha \in \Lambda \right \}$ 是一族开区间，而 $\left [a,b \right ]\subset\bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{ \! \, }I_\alpha$ ，则存在 $\left \{ \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k \right \}\subset \Lambda$ ，使得 $\left [ a,b \right ]\subset\bigcup_{i=1}^{k}I_{\alpha_i}$ 。

(2) 区间套定理：若 $\left [a_n,b_n \right ]\subset \left [ a_{n-1},b_{n-1} \right ],n=1,2,\dots$ ,且 $\lim_{n\to\infty }\left ( b_n-a_n \right )=0$ ，则存在唯一 $a\in \mathbb{R}$ ,使得 $a \in \left [ a_n,b_n \right ],n=1,2,\dots$ ,即 $\left \{ a \right \}=\bigcap_{n=1}^{\infty }\left [ a_n,b_n \right ]$ .

对于集合的补集，简写时用 $A^c$ 表示集合 $A$ 的补集。

在进入德摩根定律前的最后一个前备工作，是需要了解集合是如何定义相等关系的。若集合 $A$ 和集合 $B$ 满足 $A\subset B$ 且 $B \subset A$ ，则称二者相等，记为 $A=B$ 。

下面我们可以进入本节的主题，即德摩根定律的集合表达。

若一族集合 $\left \{ A_{\alpha}:\alpha\in \Lambda \right \}$ ，则有

$\left ( \bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{}A_\alpha \right )^c=\bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{}A_\alpha^c$

$\left ( \bigcap_{\alpha \in \Lambda}^{}A_\alpha \right )^c=\bigcup_{\alpha \in \Lambda}^{}A_\alpha^c$

实际上，很多数学上的逻辑命题都可以用集合语言来描述，他们之间有着显然而深刻的关联，请看下图。

$\exists$ （存在）	$\Leftrightarrow$	$\bigcup_{}^{}$ （并集）
↑ 包含于		↑ 包含于
$\forall$ （任意）	$\Leftrightarrow$	$\bigcap_{}^{}$ （交集）

请读者先尝试理解这样一句话，即与“存在”相对应的是并集运算，与“任意”相对应的是交集运算。如此而来，我们的德摩根定律实际上可以通过“一个命题与其逆否命题等价”来近似理解。

请让我们看一个例子。设 $\left \{ f_n\left ( x \right ) \right \}$ 是一列函数，若 $x$ 是使 $\left \{ f_n\left ( x \right ) \right \}$ 收敛于0的点，则对任意 $\varepsilon >0$ ，存在 $N \in\mathbb{N}$ ，使得对任意 $n\geqslant N,\left | f_n\left ( x \right ) \right |<\varepsilon$ ，将其写为集合语言，即

$\left \{ x:\lim_{n \to \infty }f_n\left ( x \right )=0 \right \}=\bigcap_{\varepsilon \in \mathbb{R}^+}^{}\bigcup_{N=1}^{\infty }\bigcap_{n=N}^{\infty }\left \{ x:\left | f_n\left ( x \right ) \right |<\varepsilon \right \}$

考虑等式左边的否命题 $\left \{ x:\lim_{n \to \infty }f_n\left ( x \right )\neq 0\,\textup{or do not exist} \right \}$ ，即存在 $\varepsilon >0$ ，使得任意 $N \in\mathbb{N}$ ，都存在 $n\geqslant N,\left | f_n\left ( x \right ) \right |\geqslant \varepsilon$ ，写为集合语言即

$\left \{ x:\lim_{n \to \infty }f_n\left ( x \right )\neq 0\,\textup{or do not exist} \right \}=\bigcup_{\varepsilon \in \mathbb{R}^+}^{}\bigcap_{N=1}^{\infty }\bigcup_{n=N}^{\infty }\left \{ x:\left | f_n\left ( x \right ) \right |\geqslant \varepsilon \right \}$

如此便产生了与德摩根定律一致的结论。需要注意的是，等式右端的集合表达式在“取反”的时候，要将所有的交集替换成并集，所有的并集替换成交集，同时也需将集合元素特征表述“取反”（如将 $\left \{ x:\left | f_n\left ( x \right ) \right |<\varepsilon \right \}$ 变成 $\left \{ x:\left | f_n\left ( x \right ) \right |\geqslant \varepsilon \right \}$ ）。

二、集合列的上极限与下极限

首先需要说明的是，在实变函数集合论中提出的有关于集合列的上极限与下极限，我认为和数学分析中数列和函数的上极限和下极限意义是有很大差别的，至少从表面上而言。

1.基本定义

由于集合列的上极限与下极限概念比较抽象（个人认为），故先摘抄教科书上的定义。

设 $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ 是任意一列集。由属于上述集列中无限多个集合的那种元素的全体所组成的集合称为这一集列的上极限，记为 $\overline{\lim_{n \to \infty }}A_n$ 或 $\lim_{n \to \infty }\sup A_n$ ，可以表示为

$\overline{\lim_{n \to \infty }}A_n=\left \{ x:\textup{exists infinite } A_n\, s.t.\, x \in A_n \right \}$

对 $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ 那种除去有限个下标外，属于集列中每个集合的元素的全体所组成的集合称为这一集列的下极限，记为 $\underset{n \to \infty }{\underline{\lim}}A_n$ 或 $\lim_{n \to \infty }\inf A_n$ ，可以表示为

$\underset{n \to \infty }{\underline{\lim}}A_n=\left \{ x:x \in A_n \textup{, when n is big enough} \right \}$

定义完毕，此时书中立即给出一个结论：显然，

$\underset{n \to \infty }{\underline{\lim}}A_n\subset\overline{\lim_{n \to \infty }}A_n$

显然，我们并不知道该结论是如何称得上“显然”的。请看下面解读。

2.个人理解

我想，首先我们需要明确两件事：第一件事，只有无限的一列集才存在所谓的上极限和下极限，即如果所给的一列集是形如 $A_1,A_2,\dots,A_k$ 而不是 $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ 的，则不存在什么上极限和下极限；第二件事，如果这列集存在所谓的上极限和下极限，那么这个上极限和下极限应当都是集合的形式，而非某个元素（即便真的只有一个元素，那也应当是该元素独立形成的一个集合）。

请让我们接着理解，对于下极限而言，实际上它是属于全部集合（或近乎于全部集合）的元素的集合。什么是近乎于全部集合？即不包含该元素的集合的数量是有限的。如果说“不包含该元素的集合的数量是有限的”，再加上刚才刚刚明确的“第一件事”，这列集合的是无限的，那也就说明下极限中的元素，起码是归属于无穷多个集合的。

现在再来看上极限，实际上它是尚且属于无穷多个集合的元素的集合。所以说下极限中的元素一定是上极限中的元素，亦即

$\underset{n \to \infty }{\underline{\lim}}A_n\subset\overline{\lim_{n \to \infty }}A_n$

而上极限与下极限的区别就在于，上极限并不要求其中的元素满足“不包含该元素的集合的数量是有限的”，可以是有限、也可以无限；而下极限要求其中元素符合这一点要求。

3.一个例子

请让我们看书上的一个例子，相信读者可以借此更好地理解上面两小节的内容。

设 $A_n$ 是如下一列点集：

$A_{2m+1}=\left [ 0,2-\frac{1}{2m+1} \right ],m=0,1,2,\dots$

$A_{2m}=\left [ 0,1+\frac{1}{2m} \right ],m=1,2,3,\dots$

现考虑 $\left \{ A_n \right \}$ 的上极限和下极限。

首先，因为闭区间 $\left [ 0,1 \right ]$ 中的点属于每一个集合，不管是形如 $A_{2k+1}$ 还是 $A_{2k}$ ，故其中每一个点都应该是下极限中的元素。而对于开区间 $\left ( 1,2 \right )$ 中的每个点 $x$ ，必存在某个正整数 $N(x)$ ，使得当 $m>N(x)$ 时，均有

$1+\frac{1}{2m}<x\leq 2-\frac{1}{2m+1}$

这些点 $x$ 都属于集合 $A_{2m+1}$ ，而不属于集合 $A_{2m}$ ；显然满足 $m>N(x)$ 的 $m$ 肯定时无穷多的，即包含这些点的集合有无穷多个，而不包含这些点的集合同样也有无穷多个；由此，我们可以很容易地将这些点，即开区间 $\left ( 1,2 \right )$ 中的每个点，都放入上极限之中，且排除在下极限之外。

而除去我们刚刚讨论的两个区间 $\left [ 0,1 \right ]$ 和 $\left ( 1,2 \right )$ ，所有在这两个区间外的点都是不属于任何 $A_n$ 的，故有

$\underset{n \to \infty }{\underline{\lim}}A_n=\left [ 0,1 \right ],\overline{\lim_{n \to \infty }}A_n=[0,2)$

4.集合形式的描述定理

最后，请让我们将上极限和下极限完全用集合的形式来描述，如下：

$\overline{\lim_{n \to \infty }}A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty }\bigcup_{m=n}^{\infty }A_m$

$\underset{n \to \infty }{\underline{\lim}}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty }\bigcap_{m=n}^{\infty }A_m$

可见实变函数中的集合论虽然具有一定的抽象性，但仍然韵味无穷，正如自然科学的天空中无数遥远而闪亮的星辰中的一员。

结语

本文所阐述均为浅薄的个人理解；由于本人非数学专业，术语和描述有失严谨性，希望读者海涵。另附参考书籍信息：《实变函数与泛函分析基础》（第四版），程其襄等人编，高等教育出版社。

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关于实变函数中德摩根定律和集合列上下极限的一些讨论

前言

一、德-摩根定律

1.概率论与逻辑代数

2.集合论

二、集合列的上极限与下极限

1.基本定义

2.个人理解

3.一个例子

4.集合形式的描述定理

结语

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