文章目录

• 参考资料
• 1. 基本模型建立
• • 平动
  • 转动
• 2. 横向（y方向）受力计算
• 3. 横向动力学模型推导
• • 补充——考虑路面坡度角
• 4. 纵向（x方向）受力计算
• 5. 动力学模型总结

参考资料

1. 车辆数学模型
2. 车辆模型-动力学模型(Dynamics Model)

1. 基本模型建立

我们作如下假设：

• 车辆所受的空气的力只会对车身坐标系x轴方向上的运动有影响，y轴方向和沿着z轴的旋转不会受到空气力的影响；
• 车辆运行在二维平面中，也就是z轴无速度。
• 车辆轮胎力运行在线性区间。

在运动学模型中，我们假设了单车模型中前后轮的速度矢量与轮子方向一致。当车辆速度很高时，单车模型中前后轮的速度矢量不再与轮子方向一致。此时运动学模型就不能准确地描述车辆的运动状态，这就需要使用动力学模型对车辆进行建模。

车辆单车模型中需要考虑两个维度的信息，这两个维度分别指代表车辆横向位置信息的 $y$和表示车辆偏航角信息的 $\psi$。他们可以大致分为两类： 纵向力(Longitudinal force) 和 横向力（Lateral force）, 纵向力就是使车辆前后移动的力量，而横向力则促使车辆在横向移动，在力的相互作用过程中，轮胎起着决定性的作用（根据一定的物理常识，轮胎是车辆运动的一个重要的力的来源）。

之所以叫二自由度的车辆动力学模型，就是因为二自由度指的是横向上y轴的运动和绕z轴的转动，忽略了纵向x轴的运动。

建立如下坐标系，X,Y表示全局坐标系，x,y则表示车身坐标系，x轴方向沿车辆中轴方向向前，y轴方向朝右，其车辆中心在质心位置。车辆的状态信息表示为$(x,y,\psi ,v)$，即$x,y$方向上的位置，偏航角和速度。

平动

首先假设车辆为一个质点，对该质点进行受力分析，并根据牛顿第二定律得
$$\begin{gathered} m{a}_y=F_{yf}+F_{yr} \\ m{a}_x=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero}\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
其中，

• $a_y$ 为车辆重心处 $y$ 轴方向的惯性加速度，满足$a_y=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$

• $F_{yf}$ 和 $F_{yr}$ ​分别表示车前轮和后轮所受到的力在y轴方向上的分量。

• $F_{xf}$ 和 $F_{xr}$分别表示车前轮和后轮所受到的力在x轴方向上的分量。

• $F_{aero}$​表示车在x轴方向受到的空气阻力。

平动过程中，有两 种力共同作用产生加速度 $a_y$ : 车辆延 $y$ 轴产生的惯性加速度 $\ddot{y}$ 和车辆绕旋转中心 $O$ 旋转产生的向心加速度 $a_c=\frac{{v_x}^2}{R}=v_x{\dot{\psi }}_{\circ }$
$$a_y=\ddot{y}+v_x\dot{\psi }\text{\hspace{1em}(2)}$$
将公式(2)带入公式(1)得
$$m\left(\ddot{y}+v_x\dot{\psi }\right)=F_{yf}+F_{yr}\text{\hspace{1em}(3)}$$

同理，沿着x轴有
$$\begin{gathered} a_x={\dot{v}}_x-v_y\dot{\psi } \\ m({\dot{v}}_x-v_y\dot{\psi })=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero}\text{\hspace{1em}(3-2)} \end{gathered}$$

其中，
$$\begin{gathered} \dot{v_x}=\ddot{x} \\ \dot{v_y}=\ddot{y} \end{gathered}$$

转动

假设车辆为刚体，刚体绕重心转动，该运动过程使用力矩和转动惯量进行描述。 车辆绕Z轴旋转产生的力矩平衡，对应的偏航动力学方程为
$$I_z\ddot{\psi }=l_f{F}_{yf}-l_r{F}_{yr}\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中， $l_f$ 和 $l_r$ 代表前后轮胎到重心的距离。

2. 横向（y方向）受力计算

车辆轮胎在y轴方向受到的力$F_{yf}$​、 $F_{yr}$​实验结果表明，其大小正比于轮胎的侧滑角。其侧滑角如下图所示：

根据上图，前轮侧滑角为

$${\alpha }_f=\delta -{\theta }_{vf}\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中， ${\theta }_{vf}$ 代表速度矢量与车辆纵轴的夹角， $\delta$ 代表前轮转向角。

同理，由于后轮转向角 $\delta$ 为 0 ，故后轮侧滑角为
$${\alpha }_r=-{\theta }_{vr}\text{\hspace{1em}(6)}$$
车辆前轮的横向力可以表示为
$$F_{yf}=2C_{\alpha f}\left(\delta -{\theta }_{vf}\right)\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中，比例常数 $C_{\alpha f}$ 代表每个前轮的转弯刚度(cornering stiffness)。

同理后轮的横向力可以写为
$$F_{yr}=2C_{\alpha r}\left(-{\theta }_{vr}\right)\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中，比例常数 $C_{\alpha r}$ 代表每个后轮的转弯刚度(cornering stiffness)。

3. 横向动力学模型推导

点 C 代表车辆的重心， A 点和 B点到重心的距离分别用 $l_f$​和 $l_r$​​表示，轴距表示为$L=l_f+l_r$​。

车辆平动产生的速度分量 $v_x$ 和 $v_y$ ，以及绕点 $C$ 转动产生的线速度 $l_f\dot{\psi }$ 和 $l_r\dot{\psi }$ (根据角速度与线速度的关系$\omega =\frac{v}{R}$得到)组成。根据上图得
$$\tan \left({\theta }_{vf}\right)=\frac{v_y+l_f\dot{\psi }}{v_x}\text{\hspace{1em}(9)}$$
$$\tan \left({\theta }_{vr}\right)=\frac{v_y-l_r\dot{\psi }}{v_x}\text{\hspace{1em}(10)}$$
由于通常情况下速度矢量的夹角很小，可以使用小角度近似原理
$$\tan \left(\delta \right)\approx \delta$$
得
$${\theta }_{vf}=\frac{\dot{y}+l_f\dot{\psi }}{v_x}\text{\hspace{1em}(11)}$$
$${\theta }_{vr}=\frac{\dot{y}-l_r\dot{\psi }}{v_x}\text{\hspace{1em}(12)}$$

将等式(7)、(8)、(11)和(12)代入等式(3)中得
$$m\left(\ddot{y}+v_x\dot{\psi }\right)=2C_{\alpha f}\left(\delta -\frac{\dot{y}+l_f\dot{\psi }}{v_x}\right)+2C_{\alpha r}\left(-\frac{\dot{y}-l_r\dot{\psi }}{v_x}\right)\text{\hspace{1em}(13)}$$
等式(13)左右两边同时除以 $m$ ，分别提取 $\ddot{y}、\dot{y}、\dot{\psi }$ 和 $\delta$ 项得
$$\ddot{y}=-\frac{2C_{\alpha f}+2C_{\alpha r}}{m{v}_x}\dot{y}-\left(v_x+\frac{2C_{\alpha f}{l}_f-2C_{\alpha r}{l}_r}{m{v}_x}\right)\dot{\psi }+\frac{2C_{\alpha f}}{m}\delta \text{\hspace{1em}(14)}$$
转化为矩阵形式如下
$$\ddot{y}=\left[\begin{array}{llll}0& -\frac{2C_{\alpha f}+2C_{\alpha r}}{m{V}_x}& 0& -\left(v_x+\frac{2C_{\alpha f}{l}_f-2C_{\alpha r}{l}_r}{m{v}_x}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}y\\ \dot{y}\\ \psi \\ \dot{\psi }\end{array}\right]+\frac{2C_{\alpha f}}{m}\delta \text{\hspace{1em}(15)}$$
同理，将等式(7)、(8)、(11)和(12)代入等式(4)中得
$$I_z\ddot{\psi }=2l_f{C}_{\alpha f}\left(\delta -\frac{\dot{y}+l_f\dot{\psi }}{v_x}\right)-2l_r{C}_{\alpha r}\left(-\frac{\dot{y}-l_r\dot{\psi }}{v_x}\right)\text{\hspace{1em}(16)}$$
等式(16)左右两边同时除以 $I_z$ ，分别提取 $\dot{y}、\ddot{\psi }、\dot{\psi }$ 和 $\delta$ 项得
$$\ddot{\psi }=-\frac{2l_f{C}_{\alpha f}-2l_r{C}_{\alpha r}}{I_z{v}_x}\dot{y}-\frac{2l_f{}^2{C}_{\alpha f}+2l_r{}^2{C}_{\alpha r}}{I_z{v}_x}\dot{\psi }+\frac{2l_f{C}_{\alpha f}}{I_z}\delta \text{\hspace{1em}(17)}$$
等效的矩阵形式为
$$\ddot{\psi }=\left[\begin{array}{llll}0& -\frac{2l_f{C}_{\alpha f}-2l_r{C}_{\alpha r}}{I_z{v}_x}& 0& -\frac{2l_f{}^2{C}_{\alpha f}+2l_r{}^2{C}_{\alpha r}}{I_z{v}_x}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}y\\ \dot{y}\\ \psi \\ \dot{\psi }\end{array}\right]+\frac{2l_f{C}_{\alpha f}}{I_z}\delta \text{\hspace{1em}(18)}$$

根据等式(15)和(18)得
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}\dot{y}\\ \ddot{y}\\ \dot{\psi }\\ \ddot{\psi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& -\frac{2C_{\alpha f}+2C_{\alpha r}}{m{V}_x}& 0& -\left(V_x+\frac{2C_{\alpha f}{l}_f-2C_{\alpha r}{l}_r}{m{V}_x}\right)\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& -\frac{2l_f{C}_{\alpha f}-2l_r{C}_{\alpha r}}{I_z{V}_x}& 0& -\frac{2l_f{}^2{C}_{\alpha f}+2l_r{}^2{C}_{\alpha r}}{I_z{V}_x}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}y\\ \dot{y}\\ \psi \\ \dot{\psi }\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{2C_{\alpha f}}{m}\\ 0\\ \frac{2l_f{C}_{\alpha f}}{I_z}\end{array}\right]\delta \end{array}\text{\hspace{1em}(19)}$$

注意：上述动力学方程的推导建立在车辆侧滑角很小的情况下，这时的轮胎作用力与侧滑角可以近似为线性关系。当侧滑角很大时，轮胎作用力与侧滑角就不再是线性关系。

补充——考虑路面坡度角

如果还额外考虑路面坡度角（road bank angles）的影响，则公式（1）应写为
$$m{a}_y=F_{yf}+F_{yr}+F_{bank}$$

式中
$$F_{bank}=mg\sin \varphi$$
$\varphi$为路面坡度角，如下图所示

转动过程不受坡度角影响，即公式（4)不变。因此，其它按部就班推导即可。

4. 纵向（x方向）受力计算

车辆在 $\mathrm{x}$ 轴方向的力 $F_{xf}、F_{xr}$ 与轮胎的滑比 ${\sigma }_x$ 成正比。其定义为:
$$\{\begin{array}{l}{\sigma }_x=\frac{r_{eff}{\omega }_w-v_x}{v_x}\text{ ——刹车时 }\\ {\sigma }_x=\frac{r_{eff}{\omega }_w-v_x}{r_{eff}{\omega }_w}\text{ ——加速时 }\end{array}\text{\hspace{1em}(20)}$$
因此有:
$$F_{xf}=2C_{\sigma f}{\sigma }_{xf}\text{\hspace{1em}(21)}$$
$$F_{xr}=2C_{\sigma r}{\sigma }_{xr}\text{\hspace{1em}(22)}$$
其中 $C_{\sigma r}$ 为纵向的轮胎刚性参数（tire stiffness parameters)。

对于空气阻力 :
$$F_{\text{aero }}=\frac{1}{2}\rho C_d{A}_F{\left(v_x+v_{\text{wind }}\right)}^2\text{\hspace{1em}(23)}$$
另外在全局坐标系下:
$$\{\begin{array}{l}\dot{X}=v_x\cos (\psi )-v_y\sin (\psi )\\ \dot{Y}=v_x\sin (\psi )+v_y\cos (\psi )\end{array}\text{\hspace{1em}(24)}$$

联立等式(3-2),(21),(22),(23)，得

$${\dot{v}}_x=\frac{2C_{\sigma r}{\sigma }_{xr}+2C_{\sigma f}{\sigma }_{xf}-\frac{1}{2}\rho C_d{A}_F{\left(v_x+v_{wind}\right)}^2}{m}+v_y\dot{\psi }\text{\hspace{1em}(25)}$$

5. 动力学模型总结

联立等式(14)，(17)，(24)，(25)得
$$\{\begin{array}{l}\dot{X}=v_x\cos (\psi )-v_y\sin (\psi )\\ \dot{Y}=v_x\sin (\psi )+v_y\cos (\psi )\\ \dot{x}=v_x\\ \dot{y}=v_y\\ {\dot{v}}_x=\frac{2C_{\sigma r}{\sigma }_{xr}+2C_{\sigma f}{\sigma }_{xf}-\frac{1}{2}\rho C_d{A}_F{\left(v_x+v_{wind}\right)}^2}{m}+v_y\dot{\psi }\\ {\dot{v}}_y=-\frac{2C_{\alpha f}+2C_{\alpha r}}{m{v}_x}\dot{y}-\left(v_x+\frac{2C_{\alpha f}{l}_f-2C_{\alpha r}{l}_r}{m{v}_x}\right)\dot{\psi }+\frac{2C_{\alpha f}}{m}\delta \\ \ddot{\psi }=-\frac{2l_f{C}_{\alpha f}-2l_r{C}_{\alpha r}}{I_z{v}_x}\dot{y}-\frac{2l_f{}^2{C}_{\alpha f}+2l_r{}^2{C}_{\alpha r}}{I_z{v}_x}\dot{\psi }+\frac{2l_f{C}_{\alpha f}}{I_z}\delta \end{array}\text{\hspace{1em}(26)}$$