数学入门

Obj_Arr 2023-03-28 原文

从初等数学到高等数学，再到现代数学的主要变化。
包含一些专题，
初等数学，算术，方程，三角函数，
高等数学，线性代数，微积分，微分方程，
现代数学，抽象代数，泛函分析，测度论

算术

加减乘除，最基本的运算，自然数，有理数，实数，复数。是一切数量概念的基础。
a+b-cd/e=？
1+2=3；5-4=1；45=20；6/3=2
1/2+1/2=1；1-1/3=2/3；62/3=4；4/6=2/3
√2+2√2=3√2；3π-π=2π；√2√6=2√3；√10/√2=√5
1+2i+(3+4i)=4+6i；3+3i-(1+2i)=2+i；i*i=-1；3/i=-3i

方程

在计算中引入未知量，求未知量的数值
a+2=3，a=？
a/i=-3i，a=？

三角函数

关于旋转的学问
从正方向，旋转A角度，得到的位置坐标
${ (1,0)\to(cosA,sinA) }$
本质为复数乘法
${ 1\cdot e^{iA}=e^{iA} }$
可推广到任意复数
${ re^{i\theta}\cdot e^{iA}=re^{i(A+\theta)} }$
${ r(cos\theta,sin\theta)\to r(cos(A+\theta),sin(A+\theta)) }$

线性代数

满足一定性质的代数系统
${ x+y=y+x\\ x+y+z=x+(y+z)\\ x+0=x\\ x+(-x)=0\\ c(x+y)=cx+cy\\ (c+d)x=cx+dx\\ c(dx)=(cd)x\\ 1\cdot x=x }$
在此之上，引入线性运算
${ f(x+y)=f(x)+f(y)\\ f(cx)=cf(x) }$
这个线性运算可以是矩阵
${ A(x+y)=A(x)+A(y)\\ A(cx)=cA(x) }$
还可以是数量积
${ z\cdot(x+y)=z\cdot(x)+z\cdot(y)\\ z\cdot(cx)=cz\cdot(x) }$

微积分

积分是关于测量的学问，测量区域面积，曲线长度，一段时期的总量
${ \int f(x)dx }$
根据参数的不同，区域的不同表现为不同的形式
${ \int f(x,y,z)dxdydz\\ \int_{C}f(x)dx }$
对于离散情形，用求和表示
${ \sum_i^nf(x_i)\Delta x_i }$
可以借此获得无穷级数表示
${ \sum_i^{\infty}f(x_i) }$
微分是关于线性逼近的学问
${ f(x+t)=f(x)+f^{\prime}(x)t+f^{\prime\prime}(x)t^2+f^{\prime\prime\prime}(x)t^3+\dots }$
可见，一阶导数为线性逼近，高阶导数则是在低阶近似之后再去近似，这般进行下去，就可以对连续函数进行多项式逼近。

微分方程

广义上属于微积分方程，即含微积分运算的方程
${ \int f(x)dx=y,f=?\\ f^{\prime}(x)=y,f=? }$
解析求解非常困难

抽象代数

满足抽象规则的代数系统，比如群满足
${ x\cdot y\in G \\ x\cdot y\cdot z=x\cdot(y\cdot z)\\ e\cdot x=x\cdot e=x\\ x\cdot x^{-1}=e }$
实质上是满足特定运算关系的集合，由于极为抽象，所以应用极广
${ x,y\in G \\ rel(x,y)\in G }$
定义集合和关系，就可以定义一种抽象结构，在这些结构中有重要应用价值的就被归类于抽象代数中。现代数学被称为研究结构的学问由此而来。

泛函分析

将函数视为线性代数中的元素，就获得了函数空间，和函数的线性代数，再加上函数微积分，函数的函数，就构成了内容极为丰富的数学领域。
${ f+g=g+f\\ f+g+h=f+(g+h)\\ f+0=f\\ f+(-f)=0\\ c(f+g)=cf+cg\\ (c+d)f=cf+df\\ c(df)=(cd)f\\ 1\cdot f=f }$
线性算子就像线性代数中的矩阵，只是现在作用于函数上
${ A(f+g)=A(f)+A(g)\\ A(cf)=cA(f) }$

测度论

积分的自然推广，积分本质上是加权求和，推广到函数空间上，配合泛函的概念，就构成了极为抽象的积分理论。
${ \int\phi(f)df }$
泛函将每一个函数对应一个数，所以对于函数空间中的无数函数的求和转变为对数的求和。

一些基本的内容，没有复杂的推导和定理，要看到数学本质上是描述的学问，所有的符号都是描述思想的固化。要把数学用起来，就需要抓住这个本质，不要被表面的复杂性吓到。

入门数学 20 math formula

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