数学建模：预测性模型学习——灰色预测模型（GM（1，1）模型）

美肚鲨ccc 2023-05-26 原文

前言

简要介绍灰色预测模型，并采用matlab对具体案例进行分析，后续会继续补充

一、模型实现

1、流程介绍

灰色生成新算子
可行性分析
建立GM（1，1）模型
精度检验

2、灰色生成

简单而言，灰色生成新算子的目的是将无序的序列弱化其随机性，转化为有序的序列展示其中规律并进行分析。常见的生成算子有以下几种：

1.累加生成算子（AGO）
2.逆累加生成算子（IAGO）
3.均值生成算子（MEAN)
4.级比生成算子

1.累加生成算子

新序列与旧序列折线图如下，可见新序列将原本无规律的序列转换为了有明显规律、递增的序列：

2.均值生成算子

即对累加生成算子相邻两项求均值，以上述例子为例：

$X^{(1)} =\left \{ 6,9,17,27,34 \right \}$

$Z^{(1)}(k)=1/2\left [ X^{(1)}(k-1)+X^{(1)}(k) \right ] \, \, \, \, \, \, k=2,3...$

$Z^{(1)}=\left \{ 7.5,13,22,30.5 \right \}$

3.可行性分析（级比检验）

先对原始序列每两项求比值，即级比，以上述例子为例：

$X^{(0)} =\left \{ 6,3,8,10,7 \right \}$

计算 $X^{(0)}$ 的级比： $\sigma (k)=X^{(0)}(k-1)/X^{(0)}(k)\, \,\: \: \, k=2,3...$

若级比满足：

则新算子 $X^{(1)}$ 或 $Z^{(1)}$ 可建立GM(1,1)模型

ps：有个条件， $X^{(0)}$ 必须是非负的，如果有负数项，则在 $X^{(0)}$ 后加上一个正数a，使得 $X^{(0)}$ 、 $X^{(1)}$ 或 $Z^{(1)}$ 均为非负再进行后续操作。

4.建立GM(1,1)模型

1.数据预处理：

先行假设原序列 $X^{(0)}=\left \{ X^{(0)}(1),X^{(0)}(2),X^{(0)}(3),...,X^{(0)}(n) \right \}$ 通过级比检验，

以均值生成算子为例： $Z^{(1)}(k)=1/2\left [ X^{(1)}(k-1)+X^{(1)}(k) \right ] \, \, \, \, \, \, k=2,3...$

新序列： $Z^{(1)}=\left \{ Z^{(1)}(1),Z^{(1)}(2),Z^{(1)}(3),...,Z^{(1)}(n) \right \}$

ps：同样的，如果级比检验不通过，也可在 $X^{(0)}$ 后加上一个正数a，使得所有级比都在可容范围内。

2.建立模型：

1.原始形式： $X^{(0)}(k)+aZ^{(1)}(k)=b$ ,目的：将a，b求出

2.用回归分析估计a，b，相应的白化微分方程及其解为：

由此得到预测值：

原序列预测值：

3.构造数据矩阵B及数据向量Y：

$B = \begin{bmatrix} -Z^{(1)}(2)& 1\\ -Z^{(1)}(3)& 1\\ .& .\\ .& .\\ -Z^{(1)}(n)& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}(X^{(1)}(1)+X^{(1)}(2)) & 1\\ -\frac{1}{2}(X^{(1)}(2)+X^{(1)}(3)) & 1\\ .& .\\ . & .\\ -\frac{1}{2}(X^{(1)}(n-1)+X^{(1)}(n)) &1 \end{bmatrix}$ $Y = \begin{bmatrix} X^{(0)}(2)\\ X^{(0)}(3)\\ .\\ .\\ X^{(0)}(n) \end{bmatrix}$

令 $u = \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$ ，求解上述微分方程得 $u = (B^{T}\cdot B)^{-1}B^{T}Y$

求出a，b代入上述预测值便拟合出了一个预测值函数

5.精度检验

残差检验：

若对所有残差绝对值小于0.1则认为达到较高要求；小于0.2则达到一般要求；

级比偏差值检验：

若对所有级比偏差值绝对值小于0.1则认为达到较高要求；小于0.2则达到一般要求；

二、案例分析

根据福建省过去十年常住人口数量预测未来n年常住人口数量

2010--2020年数据为：[3693,3784,3841,3885,3945,3984,4016,4065,4104,4137,4161] 万人

1.级比检验：

满足级比检验区间：（0.8574，1.1663）

通过matlab算得级比为：

均通过级比检验

代码：

%级比检验通过
check = [];
for k = 2:n
    lambda(k) = data(k-1)/data(k);
    if (exp(-2/(n+1))<lambda(k))&&(lambda(k)<exp(2/(n+1)))
        check(end+1) = 1;  %通过则输出1
    else check(end+1) = 0;  %不通过则输出0
    end
end

2.生成算子：

累加生成算子：

均值生成算子:

代码：

%累加生成算子
X1 = cumsum(data);
for i=2:n
    z(i) = 0.5*(X1(i-1)+X1(i));
end

3.求数据矩阵B及数据向量Y

B： Y：

代码：

%数据矩阵B及数据向量Y
Y = data(2:n)';
B = [-z(2:n)',ones(n-1,1)];
u = (B'*B)\B'*Y;
a = u(1,1);
b = u(2,1);

4.生成预测值 $\hat{X}^{(1)}$ 和 $\hat{X}^{(0)}$

$\hat{X}^{(1)}$ ：

$\hat{X}^{(0)}$ ：

代码：

%预测值
f_X1 = [];
f_X0 = [];
for k=1:n-1
    f_X1(1)=data(1);
    f_X1(k+1) = (data(1)-b/a)*exp(-a*k) + b/a;
end
for k=2:n
    f_X0(1)=data(1);
    f_X0(k)=f_X1(k)-f_X1(k-1);
end

5.残差检验和级比偏差值检验：