向量之间的叉乘和点乘，概念易混淆，分别不清楚，因此本文专门对这个概念进行了详细分析介绍。首先，介绍一下向量（Vector），在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。
在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。向量：既有方向又有大小的量。通常情况下会将向量放到坐标系中，常用的是笛卡尔坐标系，向量起始点通常放到原点（注：没有固定的起点，只要方向相同，大小相等，就认为两向量是相同的，但为了用数值坐标来表示向量，将起始点放到原点）
向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。点乘，也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度，是一个标量。
假设向量a和向量b：
a和b的点积公式（要求一维向量a和向量b的行列数相同）为：
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：
a·b = |a||b|cos(θ)
θ是向量a和向量b见的夹角。这里|a|我们称为向量a的模(norm)，也就是a的长度， 在二维空间中就是|a| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角： cos(θ) = a·b /(|a||b|)
对于推导过程可以稍微利用余弦定理如下，
首先看一下向量组成： 
定义向量： c = a - b
根据三角形余弦定理有：
根据关系c = a - b（a、b、c均为向量）有：
向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：
根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：
a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
总结就是：
假如 向量a 为（x1, y1），向量b为(x2, y2)
点积（也叫内积）结果 为a·b = x1 * x2 + y1 * y2 = |a||b| cos<a,b>，可以理解为向量a在向量b上投影的长度乘以向量b的长度。
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量，并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b：
a和b的叉乘公式为，其中i = （1,0,0）、 j = （0,1,0）、k = （0,0,1）：
根据i、j、k间关系，有：
在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。叉乘的结果是个向量，方向在z轴上,在二维空间里，让我们暂时忽略它的方向，将结果看成一个向量，那么这个结果类似于上述的点积，有公式：
axb = |a||b|sin(θ),
然而角度 θ和上面点乘的角度有一点点不同，他是有正负的，是指从a到b的角度。因此 ，向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中，已知力与力臂求外积，就是向量的外积，即叉乘。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
叉积的绝对值就是A和B为两边说形成的平行四边形的面积。也就是AB所包围三角形面积的两倍。在计算面积时，我们要经常用到叉积。
向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断。判断方法如下：
1.右手手掌张开，四指并拢，大拇指垂直于四指指向的方向；
2.伸出右手，四指弯曲，四指与A旋转到B方向一致，那么大拇指指向为C向量的方向。
总结就是：
假如 向量a 为（x1, y1），向量b为(x2, y2)
叉积（也叫外积）的模为a x b = x1 * y2 - x2 * y1 = |a||b| sin<a,b>，可以理解为平行四边形的有向面积（三维以上为体积）。外积的方向垂直于这两个方向。
此文参考了众多博主的内容，感谢下面博主：
-牧野-
pangshaohua
知乎问题：点乘和叉乘的区别是什么？
炒饭大师
AndyJMR
请帮助我理解范围运算符...和..之间的区别，作为Ruby中使用的“触发器”。这是PragmaticProgrammersguidetoRuby中的一个示例:a=(11..20).collect{|i|(i%4==0)..(i%3==0)?i:nil}返回:[nil,12,nil,nil,nil,16,17,18,nil,20]还有:a=(11..20).collect{|i|(i%4==0)...(i%3==0)?i:nil}返回:[nil,12,13,14,15,16,17,18,nil,20] 最佳答案 触发器(又名f/f)是
我正在检查一个Rails项目。在ERubyHTML模板页面上，我看到了这样几行:我不明白为什么不这样写:在这种情况下，||=和ifnil?有什么区别？ 最佳答案 在这种特殊情况下没有区别，但可能是出于习惯。每当我看到nil?被使用时，它几乎总是使用不当。在Ruby中，很少有东西在逻辑上是假的，只有文字false和nil是。这意味着像if(!x.nil?)这样的代码几乎总是更好地表示为if(x)除非期望x可能是文字false。我会将其切换为||=false，因为它具有相同的结果，但这在很大程度上取决于偏好。唯一的缺点是赋值会在每次运行
我正在阅读一本关于Ruby的书，作者在编写类初始化定义时使用的形式与他在本书前几节中使用的形式略有不同。它看起来像这样:classTicketattr_accessor:venue,:datedefinitialize(venue,date)self.venue=venueself.date=dateendend在本书的前几节中，它的定义如下:classTicketattr_accessor:venue,:datedefinitialize(venue,date)@venue=venue@date=dateendend在第一个示例中使用setter方法与在第二个示例中使用实例变量之间是
点向量坐标矩阵的几何意义介绍旋转矩阵的几何含义之前，先介绍一下点向量坐标矩阵的几何含义点：在一维空间下就是一个标量，如同一条直线上，以任意某一个位置为0点，以一定的尺度间隔为1，2，3...,相反方向为-1，-2，-3...；如此就形成了一维坐标系，这时候任何一个点都可以用一个数值表示，如点p1=5，即即从原点出发沿着x轴正方向移动5个尺度；点p2=-3，负方向移动3个尺度； 在一维坐标系上过原点做垂直于一维坐标系的直线，则形成了二维坐标系，此时描述一个点需要两个数值来表示点p3=（3，2），即从原点出发沿着x轴正方向移动3个尺度，在此基础上沿着y轴正方向移动两个尺度的位置就是点p3。
转自:spring.profiles.active和spring.profiles.include的使用及区别说明下文笔者讲述spring.profiles.active和spring.profiles.include的区别简介说明,如下所示我们都知道，在日常开发中,开发|测试|生产环境都拥有不同的配置信息如：jdbc地址、ip、端口等此时为了避免每次都修改全部信息，我们则可以采用以上的属性处理此类异常spring.profiles.active属性例：配置文件,可使用以下方式定义application-${profile}.properties开发环境配置文件:application-dev
打印1:defsum(i)i=i+[2]end$x=[1]sum($x)print$x打印12:defsum(i)i.push(2)end$x=[1]sum($x)print$x后者是修改全局变量$x。为什么它在第二个例子中被修改而不是在第一个例子中？类Array的任何方法(不仅是push)都会发生这种情况吗？ 最佳答案 变量范围在这里无关紧要。在第一段代码中，您仅使用赋值运算符=为变量i赋值，而在第二段代码中，您正在修改$x(也称为i)使用破坏性方法push。赋值从不修改任何对象。它只是提供一个名称来引用一个对象。方法要么是破坏性
Ruby中的Fixnum方法.next和.succ有什么区别？看起来它的工作原理是一样的:1.next=>21.succ=>2如果有什么不同，为什么有两种方法做同样的事情？ 最佳答案 它们是等价的。Fixnum#succ只是Fixnum#next的同义词。他们甚至在thereferencemanual中共享同一block. 关于ruby-Ruby中.next和.succ的区别，我们在StackOverflow上找到一个类似的问题： https://stacko
我明白了defa(&block)block.call(self)end和defa()yieldselfend导致相同的结果，如果我假设有这样一个blocka{}。我的问题是-因为我偶然发现了一些这样的代码，它是否有任何区别或者是否有任何优势(如果我不使用变量/引用block):defa(&block)yieldselfend这是一个我不理解&block用法的具体案例:defrule(code,name,&block)@rules=[]if@rules.nil?@rules 最佳答案 我能想到的唯一优点就是自省(introspecti
由于匿名block和散列block看起来大致相同。我正在玩它。我做了一些严肃的观察，如下所示:{}.class#=>Hash好的，这很酷。空block被视为Hash。print{}.class#=>NilClassputs{}.class#=>NilClass为什么上面的代码和NilClass一样，下面的代码又显示了Hash？puts({}.class)#Hash#=>nilprint({}.class)#Hash=>nil谁能帮我理解上面发生了什么？我完全不同意@Lindydancer的观点你如何解释下面几行:print{}.class#NilClassprint[].class#A
在Ruby中，我试图理解to_enum和enum_for方法。在我提出问题之前，我提供了一些示例代码和两个示例来帮助理解上下文。示例代码:#replicatesgroup_bymethodonArrayclassclassArraydefgroup_by2(&input_block)returnself.enum_for(:group_by2)unlessblock_given?hash=Hash.new{|h,k|h[k]=[]}self.each{|e|hash[input_block.call(e)]示例#1:irb(main)>puts[1,2,3].group_by2.ins
