第二章随机变量的分布与数字特征2.1随机变量及其分布随机变量的概念定义定义在概念空间\((\Omega,P)\)上，取值为实数的函数\(X=X(\omega)(\omega\in\Omega)\)称为\((\Omega,P)\)上的一个随机变量.理解随机变量的作用在于将样本的文字描述转换为实数，是一个具体到抽象的过程。举例：投掷一枚硬币，记正面朝上次数为随机变量\(X\)，则\(X\)作为样本空间\(\Omega=\{正面，反面\}\)上的函数定义为\[X(\omega)=\left\{\begin{align*}{}&1,\quad\omega=正面,\\&0,\quad\omega=反面.

1.5事件的独立性两个事件的独立性定义如果一个事件\(B\)发生与否对另一个事件\(A\)发生的概率没有任何影响，则\[P(A|B)=P(A)\]其中，\(P(B)>0\)，称\(A\)独立于\(B\).对称的，如果\(P(B|A)=P(B),P(A)>0\)则称\(B\)独立于\(A\).综合起来，如果：\[P(AB)=P(A)P(B)\](其中\(P(A)>0,P(B)>0\))，则称\(A\)与\(B\)相互独立，简称\(A\)与\(B\)独立。推论\(\varnothing\)和\(\Omega\)与任意事件\(A\)独立。若\(A,B\)独立，则\(A,\overline{B}\)独

1.4条件概率条件概率样本空间\(\Omega\)事件\(A,B\)\(P(B)>0\)在事件\(B\)已经发生的前提条件下，事件\(A\)发生的概率称为A对B的条件概率：\(P(A|B)\).通常，\(P(A)\)为无条件概率，对应的样本空间为\(\Omega\)。而条件概率\(P(A|B)\)对应的样本空间为\(B\)，或者记为\(\Omega_B\).所以：\[P(A|B)=\frac{n_{AB}}{n_B}=\frac{\frac{n_{AB}}{n}}{\frac{n_B}{n}}=\frac{P(AB)}{P(B)}\]乘法公式根据\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(

1.2随机事件的概率定义简单定义概率是随机事件发生的可能性大小的度量（数值）。频率可以作为概率的估计，但频率的稳定值不能作为概率的定义。一个事件的概率是由事件本身特征决定的客观存在。频率的稳定值是概率的外在的必然表现。公理化定义设\(\Omega\)是一个样本空间，定义在\(\Omega\)的事件域\(\mathscr{F}\)上的一个实值函数\(P(\cdot)\)称为\(\Omega\)上的一个概率测度，如果它满足下列三条公理：​ 公理1 \(P(\Omega)=1\);​ 公理2 对任意事件\(A\)，有\(P(A)\ge0\);​ 公理3 对任意可数个两两互不相容的事件\(A_1,A_

第一章随机事件与概率1.1随机事件基本概念随机现象确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。随机现象：无法事先准确预知其结果的现象。统计规律性：随机现象在大量重复观察时所表现出来的量的规律性。随机试验：对随机现象的观察。简称：试验。随机试验的特点：一定条件下可重复试验结果不止一个试验结果不可预测样本空间样本点：随机试验的每一个可能结果。通常用\(\omega\)表示。样本空间：一个随机事件所有样本点的集合。通常用\(\Omega\)表示。一个随机试验将要出现的结果是不确定的，但其所有可能结果是明确的。\[\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}\]

题意：费用流，其实bushi给你长为\(n\)的序列\(a\),\(b\)。\(a\)单增，\(b\)有正有负。\(q\)次询问\([l,r]\)，保证\(\sum\limits_{i=l}^rb_i=0\)，将区间\([l,r]\)中每个值当节点，\(b_i的连S,\(b_i>0\)的连T,容量为\(abs(b_i)\)。两两点连边，容量为inf，费用为\(abs(a_i-a_j)\)。问最小费用最大流。思路：显然有一个感性的贪心思路：每次尽量会去抵消前面最近的需要抵消的流量，抵消后自己剩余的留量就留给后面抵消。这样就可以从前枚举\(l~r\)，考虑每个点贡献对前面流单位流量贡献\(a_i\

第三章随机向量3.1随机向量的分布随机向量及其分布函数概念\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是\(n\)个随机向量，则\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\)是一个\(n\)维随机向量。\(n\)元函数\(F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P\{X_1\lex_1,X_2\lex_2,\cdots,X_n\lex_n\}\)为随机向量\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\)的分布函数。其中\(\{X_1\lex_1,X_2\lex_2,\cdots,X_n\lex_n\}\)表示\(\{X_1\lex_1\},\{X_2\lex_2\},\cdots,\{X

2.5随机变量函数的分布随机变量函数对于一个随机变量\(X\)，其取值是不确定的，如果存在一个函数\(g(x)\)，使得随机变量\(X,Y\)满足：\[Y=g(X),\]则称随机变量\(Y\)是随机变量\(X\)的函数。\(X\)的统计规律决定了\(Y\)的统计规律.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量\(X\)的函数\(Y=g(X)\)显然还是离散型随机变量。\(Y\)的概率分布完全由\(X\)的概率分布所确定。连续型随机变量函数的分布设随机变量\(X\)的密度函数为\(f_X(x)\)，分布函数为\(F_X(x)\)。用函数\(g(x)\)构造随机变量\(Y=g(X)\)，记\(Y\)的

2.4常用的连续型分布均匀分布定义如果随机变量\(X\)的密度函数为\[f(x)=\left\{\begin{align*}&\frac{1}{b-a},\quad\quada\lex\leb,\\&0,\quad\quad\quad\quadelse,\end{align*}\right.\]则称\(X\)服从\([a,b]\)上的均匀分布，记作\(X\simU[a,b]\).性质\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_a^bf(x)dx=1\)矩形面积为1，因此区间\([a,b]\)上的常数必定为\(\frac{1}{b-a}\).分布函数：\[F(x)

2.3常用的离散型分布退化分布若随机变量\(X\)满足\[P\{X=a\}=1\]则称\(X\)服从\(a\)处的退化分布，这种情况下，随机变量退化成了一个确定的常数。两点分布定义若随机变量\(X\)只有两个可能取值，设其分布为\[P\{X=x_1\}=p,\quadP\{X=x_2\}=1-p,\quad0则称\(X\)服从\(x_1,x_2\)处参数为\(p\)的两点分布。如果\(x_1=1,x_2=0\)，则称为0-1分布或伯努利分布，也称\(X\)为伯努利随机变量。性质当\(x_1=1,x_2=0\)时，有\(EX=p,\quadDX=p(1-p)=pq\)，其中\(q=1-p\).两