线性代数：矩阵的秩1.定义矩阵的秩（Rank）是线性代数中一个非常重要的概念，表示一个矩阵的行向量或列向量的线性无关的数量，通常用r(A)r(\boldsymbol{A})r(A)表示。具体来说：对于一个m×nm\timesnm×n的实矩阵A\boldsymbol{A}A，它的行秩r(A)r(\boldsymbol{A})r(A)定义为A\boldsymbol{A}A的各行向量的线性无关的最大数量；对于一个m×nm\timesnm×n的实矩阵A\boldsymbol{A}A，它的列秩r(A)r(\boldsymbol{A})r(A)定义为A\boldsymbol{A}A的各列向量的线性无关的最

一、伴随矩阵 （1）定义     A为一个n阶矩阵，行列式|A|的每个元素aij的代数余子式Aij组成的矩阵叫做伴随矩阵，记作A*；（2）运算规则    a. 如果A矩阵可逆，A*=|A|A^-1    b. |A|=|A|^(n-1)    c. (kA)*=k^(n-1)A*二、逆矩阵（1）定理    a. 若矩阵的行列式结果值不等于0，那么这个矩阵就是可逆的；    b. 矩阵A的逆矩阵表示为A^-1；（2）逆矩阵的运算规则        a. 如果A矩阵可逆，那么A的逆矩阵也是可逆的，且A的逆矩阵的逆矩阵就是A矩阵；    b. 对（λA）取逆矩阵，则( λA)^-1=1/λ* A^-

AA∗矩阵相乘，刚好是行列式展开的定义AA^*矩阵相乘，刚好是行列式展开的定义AA∗矩阵相乘，刚好是行列式展开的定义矩阵提取一个因子∣A∣，所有元素需要除∣A∣矩阵提取一个因子|A|，所有元素需要除|A|矩阵提取一个因子∣A∣，所有元素需要除∣A∣那么为什么其他位置的元素是0那么为什么其他位置的元素是0那么为什么其他位置的元素是0即行列式第i行元素和第j行的代数余子式乘积为0？即行列式第i行元素和第j行的代数余子式乘积为0？即行列式第i行元素和第j行的代数余子式乘积为0？以三阶行列式为例以三阶行列式为例以三阶行列式为例用第二行的元素乘第一行的代数余子式用第二行的元素乘第一行的代数余子式用第二行

目录0参考的知识点和目录1向量1.1向量的概念1.2向量如何表示1.3向量/矩阵的优秀表示方法：即向量空间内的有向线段2矩阵2.1 矩阵就是多个列向量的集合/合并（&而不是+），矩阵就是多个列向量的一种简化书写方式？2.2矩阵的加法 =等价于= 向量的加法2.3矩阵的数乘 =等价于= 向量的数乘 2.4矩阵的点乘=等价于= 列向量（或者行向量）的点乘3矩阵的特点3.1矩阵里不同位置的元素，影响范围是指定的有规律的3.1.1矩阵里数字的位置和影响范围3.2矩阵的本质是旋转和缩放3.2.1各种缩放/旋转的矩阵效果3.2.2矩阵里数字的效果0参考的知识点和目录1向量1.1向量的概念向量/数组：一组有

文章目录引言一、二次型的基本概念及其标准型1.2基本定理1.3二次型标准化方法1.配方法2.正交变换法写在最后引言了解了关于二次型的基本概念以及梳理了矩阵三大关系后，我们继续往后学习二次型的内容。一、二次型的基本概念及其标准型1.2基本定理定理1——（标准型定理）任何二次型XTAX\pmb{X}^T\pmb{AX}XTAX总可以经过可逆的线性变换X=PY\pmb{X=PY}X=PY，即P\pmb{P}P为可逆矩阵，把二次型f(X)f(\pmb{X})f(X)化为标准型，即f(X)=YT(PTAP)Y=l1y12+l2y22+⋯+lmym2,f(\pmb{X})=\pmb{Y}^T(\pmb{P

课程来自b站发现的《线性代数的本质》，可以帮助从直觉层面理解线性代数的一些基础概念，以及把一些看似不同的数学概念解释之后，发现其实有内在的关联。这里只对部分内容做一个记录，完整内容请自行观看视频~01-向量究竟是什么数字在线性代数中起到的主要作用就是缩放向量线性代数仅围绕向量的加法和数乘线性代数可以：实现对空间的操纵解线性方程组02-线性组合，张成的空间与基每当用数字描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基。所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合，被称作给定向量张成的空间(span)（下图中a，b在实数范围内变化）-多个向量的线性组合：可以理解为对多个向量进行缩放，最后相加线性相关：有多个向

性质1　若λ\lambdaλ是A\boldsymbol{A}A的特征值，当A\boldsymbol{A}A可逆时，1λ\frac{1}{\lambda}λ1​是A−1\boldsymbol{A}^{-1}A−1的特征值。证明　因为λ\lambdaλ是A\boldsymbol{A}A的特征值，所以有p≠0\boldsymbol{p}\ne0p=0使Ap=λp\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}=\lambda\boldsymbol{p}Ap=λp。于是，当A\boldsymbol{A}A可逆时，因为Ap=λp\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}=\lam

目录1从2元一次方程组求解说起1.1直接用方程组消元法求解1.2有没有其他方法呢？有：比如2阶行列式方法1.3 3阶行列式2行列式的定义2.1矩阵里的方阵2.2 行列式定义：返回值为标量的一个函数2.3行列式的计算公式2.4克拉默法则2.4.1克拉默法则的内容2.4.2克拉默法则对行列式的展开公式2.4.3克拉默法则，行列式展开式的由来2.4.3.1全排列2.4.3.2逆序数2.4.3.3行列式展开为  Σ逆序数*每一种排列3行列式的意义3.1基础定义？3.2几何意义3.3行列式的意义和作用呢？3.4行列式的结果（是1个标量）的作用10扩展话题：行列式与模（未完成）参考一些书里的目录和知识点1

线性代数：增广矩阵学习笔记增广矩阵定义对于一个n×mn\timesmn×m的矩阵A=[aij]A=[a_{ij}]A=[aij​]，我们可以在它的右边加上一个n×1n\times1n×1的列向量bbb，得到一个n×(m+1)n\times(m+1)n×(m+1)的矩阵[A∣b]\begin{bmatrix}A&\bigl|&b\end{bmatrix}[A​​​b​]，这个矩阵被称为AAA的增广矩阵。A=[a11a12⋯a1ma21a22⋯a2m⋮⋮⋱⋮an1an2⋯anm],[A∣b]=[a11a12⋯a1m∣b1a21a22⋯a2m∣b2⋮⋮⋱⋮∣⋮an1an2⋯anm∣bn]A=\beg

目录1矩阵加法1.1矩阵加法的定义1.2加法的属性1.2.1只有同类型，相同n*m的矩阵才可以相加1.2.1矩阵加法的可交换律：1.2.2矩阵加法的可结合律：1.3矩阵加法的几何意义2 矩阵的减法2.1矩阵减法定义和原理基本同矩阵的加法2.2矩阵减法的几何意义3矩阵标量乘法/也称数乘3.1数乘的定义3.2矩阵的标量乘法的性质3.3几何意义：就是正向/反向的伸缩4左乘&右乘（很简单概念，但是需要界定语言的严谨性）4.1搞清楚主体：谁的左乘？右乘？4.2搞清楚方向：什么是左乘和右乘 4.3一般的线性代数公式 AX=Y,表示x左乘矩阵A5矩阵的点乘：得到的点积/内积5.1详细的矩阵乘法规则5.1.1