文章目录虚拟源点：1146.新的开始贪心或kruskal性质：1145.北极通讯网络最小生成树与完全图：346.走廊泼水节次小生成树：1148.秘密的牛奶运输虚拟源点：1146.新的开始1146.新的开始-AcWing题库与一般的最小生成树问题不同，本题需要在建立电站的电井之间建立电网，在两个电站之间建立电网需要花费金额，可以看成一条具有权值的边但是建立电网的前提是：其中一个电井需要建立电站，建立电站也需要费用已经建立电站的两个电井之间无需建立电网，即一张电网中只需要存在一个建立电站的电井可以将建立电站也看成具有权值的边，设置虚拟源点，在第i个电井建立电站可以转换成虚拟源点与i点之间的边，权值

割边：dfn[u]割点：dfn[u]一.知识点：1.连通：在图论中，连通性是指一个无向图中的任意两个顶点之间存在路径。如果对于图中的任意两个顶点u和v，存在一条路径从u到v，那么图被称为连通图。如果图不是连通的，那么它可以被分为多个连通分量，每个连通分量都是一个连通子图。2.割点:割点（CutVertex），也称为关节点或割顶，是指在无向图中，如果移除该顶点及其相连的边，会导致图不再连通，那么该顶点就被称为割点。3.割边：割边（CutEdge），也称为桥，是指在无向图中，如果移除该边，会导致图不再连通，那么该边就被称为割边。割边在图中起到了连接不同连通分量的作用，其移除会导致图的连通性发生变化

1.有向图和无向图1.1什么是图？        图是表示各种关系的节点和边的集合：        •节点是与对象对应的顶点。        •边是对象之间的连接。        •图的边有时会有权重，表示节点之间的每个连接的强度（或一些其他属性）。        这些定义是概括性的，因为节点和边在图中的确切含义取决于具体的应用情形。例如，您可以使用图为社交网站中的朋友关系建模。图节点表示人，边表示朋友关系。图与物理对象和各种情况的自然对应关系意味着，您可以使用图对各种系统进行建模。例如：        •网页链接-图节点代表网页，边表示网页之间的超链接。        •机场-图节点代表机场

图论有向图1.邻接矩阵，稠密图2.邻接表（常用）单链表，每一个点都有一个单链表，插入一般在头的地方插，图的邻接表的存储方式树的深度优先遍历特殊的深度优先搜索，难点是如何实现，一条道走到黑constintN=100010,M=n*2;inth[N],e[N],ne[N],idx;boolst[N];//记录状态voidadd(inta,intb){ e[idx]=b; ne[idx]=h[a]; h[a]=idx++;}voiddfs(intu){ st[u]=true; for(i=h[u];i!=-1;i=ne[i]) { intj=e[i];//当前节点对应的图的值； if(!st[j

本文主要介绍Java中图论基础数据结构的基本原理、实现方式以及使用场景。图论是研究非线性方程组及其解的数学领域，广泛应用于计算机科学中，如网络拓扑、交通网络、地理信息系统等。一、图的基本概念图是由节点（Vertex）和边（Edge）组成的数据结构。节点表示图中的对象或实体，而边表示节点之间的关系。无向边用一条实线表示，有向边用一条虚线表示。二、图的类型根据边是否有方向，图可以分为有向图和无向图。有向图中的边有方向，而无向图中的边没有方向。在有向图中，每个节点都有一个入度（In-degree）和一个出度（Out-degree）。图还可以根据边的权重分为有权图和无权图。有权图中的边具有一个实数值，

本帖总结一些经典的图论问题，通过MATLAB如何计算答案。近期在复习考研，以此来巩固一下相关知识——虽然考研肯定不能用MATLAB代码哈哈，不过在实际应用中解决问题还是很不错的，比C++易上手得多~        图论中的图（Graph）是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种系。        一个图可以用数学语言描述为G(V(G),E(G))。        V(vertex)指的是图的顶点集，E(edge)指的是图的边集。1.有向图：弧是顶点的有序对，通过grapi（s,t）函数绘制

一.介绍 Prim算法是一种用于解决最小生成树问题的贪心算法。最小生成树问题是指在一个连通无向图中找到一个生成树，使得树中所有边的权重之和最小。Prim算法的基本思想是从一个起始顶点开始，逐步扩展生成树，直到覆盖所有顶点。具体步骤如下：选择一个起始顶点作为生成树的根节点，并将其加入生成树中。从生成树中的顶点出发，选择一条与生成树相连的边中权重最小的边，并将其加入生成树中。重复步骤2，直到生成树包含了所有顶点。Prim算法的关键在于如何选择与生成树相连的边中权重最小的边。一种常用的方法是使用优先队列（最小堆）来存储候选边，每次选择权重最小的边加入生成树。Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)

迪杰斯特拉算法（求最短路径）迪杰斯特拉算法用于查找图中某个顶点到其它所有顶点的最短路径，该算法既适用于无向加权图，也适用于有向加权图。注意，使用迪杰斯特拉算法查找最短路径时，必须保证图中所有边的权值为非负数，否则查找过程很容易出错。迪杰斯特拉算法的实现思路图1是一个无向加权图，我们就以此图为例，给大家讲解迪杰斯特拉算法的实现思路。图1无向加权图假设用迪杰斯特拉算法查找从顶点0到其它顶点的最短路径，具体过程是：统计从顶点0直达其它顶点的权值，如下表所示：表1顶点0直达其它顶点的权值123456总权值26∞∞∞∞路径0-10-20-30-40-50-6∞表示两个顶点之间无法直达，对应的权值为无穷大

目录一.判断是哈密顿图的“充分条件”：二.判断“不是”哈密顿图的“充分条件”：三.其他情况：定义：含有哈密顿圈的图称为哈密顿图。补充：哈密顿路即包含所有顶点且不重复的路。（两个对顶三角含有哈密顿路，但不是哈密顿图因为没有哈密顿圈）一.判断是哈密顿图的“充分条件”：1.美国图论数学家奥勒在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密顿图。但不满足不一定就不是哈密顿图2.若图的最小度不小于顶点数的一半，则图是哈密顿图；3.若图中每一对不相邻的顶点的度数之和不小于顶点数，则图是哈密顿图。不满足不一定就不是比如二.判

图论–最短路问题邻接表/*e[idx]:存储点的编号w[idx]:存储边的距离（权重）*/voidadd(inta,intb,intc){e[idx]=b;ne[idx]=h[a];w[idx]=ch[a]=idx++;}1.拓扑排序给定一个n个点m条边的有向图，点的编号是11到n，图中可能存在重边和自环。请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出−1−1。若一个由图中所有点构成的序列A满足：对于图中的每条边(x,y)，x在A中都出现在y之前，则称A是该图的一个拓扑序列。输入格式第一行包含两个整数n和m。接下来m行，每行包含两个整数x和y，表示存在一条从点x到点y的有向边(x