本文主要介绍Java中图论基础数据结构的基本原理、实现方式以及使用场景。图论是研究非线性方程组及其解的数学领域，广泛应用于计算机科学中，如网络拓扑、交通网络、地理信息系统等。一、图的基本概念图是由节点（Vertex）和边（Edge）组成的数据结构。节点表示图中的对象或实体，而边表示节点之间的关系。无向边用一条实线表示，有向边用一条虚线表示。二、图的类型根据边是否有方向，图可以分为有向图和无向图。有向图中的边有方向，而无向图中的边没有方向。在有向图中，每个节点都有一个入度（In-degree）和一个出度（Out-degree）。图还可以根据边的权重分为有权图和无权图。有权图中的边具有一个实数值，

本帖总结一些经典的图论问题，通过MATLAB如何计算答案。近期在复习考研，以此来巩固一下相关知识——虽然考研肯定不能用MATLAB代码哈哈，不过在实际应用中解决问题还是很不错的，比C++易上手得多~        图论中的图（Graph）是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种系。        一个图可以用数学语言描述为G(V(G),E(G))。        V(vertex)指的是图的顶点集，E(edge)指的是图的边集。1.有向图：弧是顶点的有序对，通过grapi（s,t）函数绘制

一.介绍 Prim算法是一种用于解决最小生成树问题的贪心算法。最小生成树问题是指在一个连通无向图中找到一个生成树，使得树中所有边的权重之和最小。Prim算法的基本思想是从一个起始顶点开始，逐步扩展生成树，直到覆盖所有顶点。具体步骤如下：选择一个起始顶点作为生成树的根节点，并将其加入生成树中。从生成树中的顶点出发，选择一条与生成树相连的边中权重最小的边，并将其加入生成树中。重复步骤2，直到生成树包含了所有顶点。Prim算法的关键在于如何选择与生成树相连的边中权重最小的边。一种常用的方法是使用优先队列（最小堆）来存储候选边，每次选择权重最小的边加入生成树。Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)

目录一.判断是哈密顿图的“充分条件”：二.判断“不是”哈密顿图的“充分条件”：三.其他情况：定义：含有哈密顿圈的图称为哈密顿图。补充：哈密顿路即包含所有顶点且不重复的路。（两个对顶三角含有哈密顿路，但不是哈密顿图因为没有哈密顿圈）一.判断是哈密顿图的“充分条件”：1.美国图论数学家奥勒在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密顿图。但不满足不一定就不是哈密顿图2.若图的最小度不小于顶点数的一半，则图是哈密顿图；3.若图中每一对不相邻的顶点的度数之和不小于顶点数，则图是哈密顿图。不满足不一定就不是比如二.判

图论–最短路问题邻接表/*e[idx]:存储点的编号w[idx]:存储边的距离（权重）*/voidadd(inta,intb,intc){e[idx]=b;ne[idx]=h[a];w[idx]=ch[a]=idx++;}1.拓扑排序给定一个n个点m条边的有向图，点的编号是11到n，图中可能存在重边和自环。请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出−1−1。若一个由图中所有点构成的序列A满足：对于图中的每条边(x,y)，x在A中都出现在y之前，则称A是该图的一个拓扑序列。输入格式第一行包含两个整数n和m。接下来m行，每行包含两个整数x和y，表示存在一条从点x到点y的有向边(x

Dijkstra算法--这是我职业生涯中唯一一个会写，却叫不上名字的算法Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，用于找出图中从一个源点到其他所有点的最短路径。该算法的原理是采用贪心策略，每次将距离源点最近的点加入到已确定最短路径的集合中，并更新其它节点的距离。具体实现过程如下：初始化距离数组dist[]，源点距离为0，其余点距离为无穷大。将所有点加入到未确定最短路径的集合中。在未确定最短路径的集合中找出距离源点最近的节点v，并将其加入到已确定最短路径的集合中。对节点v的所有邻居节点u进行更新，如果dist[u]>dist[v]+w(v,u)，则更新dist[u]=dist[v]+w(v,u

1.连通块的定义块内每个点之间都有一条路径。2.思路我们可以用dfs深度优先搜索：从一个点出发遍历图将遍历过的点全部标记，标记过的点则不会再遍历到。再写一个循环枚举所有的点（枚举起点），如果没标记就代表可以作为起点，数量加一，进行dfs标记点。3.代码 #includeusingnamespacestd;longlongn,m,ans;//n点数，m边数，ans连通块数量。boola[105][105],vis[105];//a邻接矩阵，vis标记。voiddfs(intx){ for(inti=1;i>n>>m; for(inti=1;i>u>>v; a[u][v]=1; a[v][u]

目录1.DFS和BFS1.1.DFS深度优先搜索1.2.BFS广度优先搜索2.树与图的遍历：拓扑排序3.最短路 3.1.迪杰斯特拉算法3.2.贝尔曼算法3.3.SPFA算法3.4.多源汇最短路Floy算法4.最小生成树4.1.普利姆算法4.2.克鲁斯卡尔算法5.二分图：染色法，匈牙利算法5.1.染色法5.2.匈牙利算法1.DFS和BFS1.1.DFS深度优先搜索深度优先搜索（Depth-FirstSearch,DFS）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。它从起点开始，沿着一个路径一直到达最深的节点，然后回溯到之前的节点，继续探索下一个路径，直到所有的节点都被访问过。DFS使用一个栈来存储待访问的

图的基本概念无向图边是没有方向的，也就是双向的结点V={v1,v2,...,v7}\mathcal{V}=\{v_1,v_2,...,v_7\}V={v1​,v2​,...,v7​}边ε={e1,2,e1,3,...,e6,7}\varepsilon=\{e_{1,2},e_{1,3},...,e_{6,7}\}ε={e1,2​,e1,3​,...,e6,7​}图G={V,ε}\mathcal{G}=\{\mathcal{V},\varepsilon\}G={V,ε}有向图边是有方向的，也就是单向的无权图边没有权重，也可以理解为权重都是1有权图边有权重图的数据结构邻接矩阵与邻接表无向无权图邻接

文章目录多源汇最短路：1125.牛的旅行传递闭包：343.排序最小环：344.观光之旅345.牛站flody的四个应用：多源汇最短路传递闭包找最小环恰好经过k条边的最短路倍增多源汇最短路：1125.牛的旅行1125.牛的旅行-AcWing题库直径概念：同一连通块中，两个距离最远的点之间的距离如何求直径？由于图中存在着两个连通块，所以直接对全图做一个flody，就能更新出任意两点间的距离，距离大于正无穷的一半时，说明两点处于不同连通块中题目要连接两个连通块，并计算所有连接方法下，原连通块与新连通块中，最大直径的最小值可以枚举所有的连接方式，维护出新连通块的直径最小值，将其与原连通块的两个直径比较