性质一：设边(u，v)(u，v)(u，v)是图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)中权重最小的边，则(u，v)(u，v)(u，v)属于GGG的某棵最小生成树。证明①：（应用定理23.1）设AAA数某个最小生成树边的子集，且AAA不包含(u，v)(u，v)(u，v)。(u，v)(u，v)(u，v)是横跨割(u,V−u)(u,V-u)(u,V−u)的轻边且割尊重集合AAA，因此(u，v)(u，v)(u，v)对于集合AAA是安全的，(u，v)(u，v)(u，v)属于一棵最小生成树。证明②：设TTT任意一个最小生成树，且(u,v)∉T(u,v)\notinT(u,v)∈/T，则T+(u,v)T+

有多种方法可以获取单元格的值或者行列，此处选用了两种方式去获取分别用了CurrentCell方法和Rows[].Cells[]的方法去获取行列值鼠标左键获取单独行列值此处获取左键行列值的触发条件是表格中数据变化获取，对应DataGridView事件CellValueChanged。用方法CurrentCell中的Value,RowIndex,ColumnIndex,分别对应了鼠标左键单元格选中的值，行，列。e.RowIndex>=0的判断要加上不加上容易报错。privatevoiddgvSRE_CellValueChanged(objectsender,DataGridViewCellEven

目录一、行转列（一）二、行转列（二） 三、列转行（一）四、列转行（二）行列转换是指将行数据转换为列数据，或将列数据转换为行数据的过程。这通常使用的办法是用PIVOT和UNPIVOT函数来实现。这里描述两种方法分别实现行列转换！！！首先创建表：学生表：student;--包括学生号，姓名，年纪，性别，生日教师表：teacher;--包括教师编号，姓名课程表：course；--包括课程编号，课程名称，对应教师学生成绩表：sc；--包括学生号，课程编号，成绩创建表的脚本如下：--学生student表droptablestudent;createtablestudent(snovarchar2(10)

数组（Array）：按行（row）和列（column）顺序排列的实数或复数的有序集称为数组。数组的分类：一维数组，也称行向量（rowvector）和列向量（columnvector）多维数组即矩阵创建一维数组行变量的方法：1、使用[]:a=[12345]或a=[1,2,3,4,5]2、使用“：”操作符如创建以1~10顺序排列的整数为元素的行向量b：b=1:10在这里1指的是从1开始，10指的是不能超过10.也可以加入步长如：c=1:2:8从1开始，每次增加步长2，一直加到不超过8。如果不设置步长的话步长自动为1.3、利用函数x=linspace(x1,x2,n)说明：该函数生成一个由n个元素组

1普通乘积（matmulproduct）        若A\pmb{A}AA是m×nm\timesnm×n矩阵，B\pmb{B}BB是n×pn\timespn×p矩阵，B\pmb{B}BB的列是b1,⋯ ,bp\pmb{b_1},\cdots,\pmb{b_p}b1​b1​,⋯,bp​bp​，则乘积AB\pmb{AB}ABAB是m×pm\timespm×p矩阵，它的各列是Ab1,⋯ ,Abp\pmb{Ab_1},\cdots,\pmb{Ab_p}Ab1​Ab1​,⋯,Abp​Abp​，即AB=A[b1b2⋯bp]=[Ab1Ab2⋯Abp]\pmb{AB}=\pmb{A}[\pmb{b_1}\

定义设nnn阶矩阵AAA满足AAT=ATA=IAA^T=A^TA=IAAT=ATA=I，则称AAA为正交矩阵。定理1设AAA，BBB是同阶正交矩阵，则：(1)det⁡(A)=±1\det(A)=\pm1det(A)=±1；(2)AT,A−1,A∗A^T,A^{-1},A^*AT,A−1,A∗均为正交矩阵；(3)ABABAB为正交矩阵。定理2实方阵AAA为正交矩阵⟺\Longleftrightarrow⟺AAA的列/行向量组为标准正交向量组。证明提要：将AAA按列分块，考察ATA=IA^TA=IATA=I即可。定理3（正交变换的保范性）设AAA为正交矩阵，则∀x1,x2∈Rn\forall\bm

项目文件文件关于项目的内容知识点可以见专栏单片机原理及应用的第五章，中断 在第4章中已介绍过行列式键盘的工作原理，并编写了相应的键盘扫描程序。但应注意的是，在单片机应用系统中，键盘扫描只是CPU工作的内容之一。CPU在忙于各项工作任务时，需要兼顾键盘扫描，既保证不失时机地响应键操作，又不过多地占用CPU时间。因此，可以采用中断扫描方式来提高CPU的效率，即只有在键盘有键按下时，才执行键盘扫描程序如果无键按下，则将键盘视为不存在。首先改写硬件：当各列电平都为0时，无论压下哪个按键，对应的行线和列线会产生逻辑与运算的结果，与门的输出端都可形成INTO的中断请求信号。这样便可将按键的扫描查询工作放在

写在前面三十而立之年，开始自学数据分析，工作比较清闲，现发帖记录自己的数据分析之路，数据分析要学很多的东西，经过多月的摸索，目前分两个方面开始学习：·知识方面：数学为王，拿起书本，重学《概率与统计》、《微积分》、《线性代数》·软件方面：MySQL、Python将暂时更新这几个序列，以便记录。此篇为《线性代数》，第四版，经济科学出版社出版，为B站宋浩老师《线性代数》教学视频所用教材，自己也是跟着宋老师学，边学边做笔记，在此特别感谢像宋老师一样无私奉献的人。本书共7章，纯手工码字，视内容多少，分批次发布。第一章 行列式1.1n阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式二阶行列式：2行2列4个元素,i-行标

相似AAA，BBB是两个nnn阶方阵，如果可存在nnn阶可逆矩阵PPP，使得P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B则AAA和BBB相似，即A∼BA\simBA∼B。注：矩阵之间有三大关系：矩阵等价(AAA经过初等变换可以得到BBB)；矩阵相似；矩阵合同。相似的性质反身性A∼AA\simAA∼A，P=EP=EP=E。对称性A∼B=>B∼AA\simB=>B\simAA∼B=>B∼A。若A∼B,B∼C=>A∼CA\simB,B\simC=>A\simCA∼B,B∼C=>A∼C相似矩阵的性质性质1若AAA,BBB相似，则AAA和BBB有相同的特征值，AAA和BBB的行列式(∣A∣=∣B∣|

目录1、矩阵行列式计算方法代数余子式法 2、程序示例1、矩阵行列式计算方法代数余子式法