[概率论与数理统计]笔记：3.3 随机向量的函数的分布与数学期望

feixianxing 2023-03-28 原文

3.3 随机向量的函数的分布与数学期望

离散型随机向量的函数的分布

定义

离散型随机向量\((X,Y)\)的分布为

\[P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,\cdots, \]
随机向量的函数为\(Z=g(X,Y)\)，记其所有可能取值为\(z_k(k=1,2,\cdots)\)
\(Z\)的概率分布为

\[P\{Z=z_k\}=P\{g(X,Y)=z_k\}=\sum\limits_{g(x_i,y_j)=z_k}P\{X=x_i,Y=y_j\} \]

解题步骤

绘制随机向量\((X,Y)\)的概率分布表。
计算出\(Z\)的所有可能取值。
将概率分布表中\(z_k=g(x_i,y_j)\)的值相同的项合并相加，即得\(Z\)的概率分布。

泊松分布的再生性

如果\(X,Y\)相互独立且\(X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2)\)，则对于\(Z=X+Y\)，有\(Z\sim P(\lambda_1+\lambda_2)\).

连续型随机向量的函数的分布

定义

设\((X,Y)\)是二维连续型随机向量，其概率密度函数为\(f(x,y)\)，函数\(Z=g(X,Y)\)，则分布函数

\[\begin{align*} F_Z(z) &= P\{Z\le z\}=P\{g(X,Y)\le z\}=P\{(X,Y)\in D_z\} \\ &= \iint\limits_{D_z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{align*} \]

其中\(D_z=\{(x,y)|g(x,y)\le z\}\).

而密度函数\(f_Z(z)=F'_Z(z)\).

计算分布函数和密度函数的关键在于：

找出区域\(D_z\).

计算二重积分\(\iint\limits_{D_z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

卷积公式

公式

如果\(X,Y\)相互独立且\(Z=X+Y\)，则\(Z\)的密度函数为

\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}y \]

这里的积分运算称为函数\(f_X(x)\)与\(f_Y(y)\)的卷积，记作\(f_X*f_Y(z)\).

上述公式可以记为：

\[f_Z(z)=f_X*f_Y(z)=f_Y*f_X(z) \]

说明

卷积是一种应用很广泛的运算，这里的卷积公式是两个函数卷积生成一个新函数的一种运算。

关于卷积的相关视频：【官方双语】那么……什么是卷积？

公式推导过程

引例题目

设\((X,Y)\)的联合密度函数为\(f(x,y)\)，\(X,Y\)相互独立，求\(Z=X+Y\)的密度函数。

推导过程

首先

\[F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{X+Y\le z\}=\iint\limits_{X+Y\le z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \]

二重积分相关知识点：

计算二重积分可以化为两次积分运算。

在直角坐标系中，有X型和Y型两种，区别是对于区域的扫描方式。

分界线\(x+y=z\)化为\(y=z-x\).

对于上述二重积分采用X型，区域的\(x\)从\(-\infty\)到\(+\infty\)，\(y\)从\(-\infty\)到直线\(y=z-x\)，所以

\[上式=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)\mathrm{d}y \]

为了使区域更加规范，这里采用换元法，令\(t=x+y\)，将\(y\)替换为\(t\)，上述积分的\(x\)部分不变，\(y\)部分内：\(y\)为变量，\(x\)为常量，\(t=x+y\)为变量。

积分换元时，需要注意3个部分：

积分上下限的改变

被积函数的改变

积分变量的改变

当\(y\to-\infty\)时，\(t\to-\infty\)；当\(y= z-x\)时，\(t=x+y=x+(z-x)=z\).
因为\(y=t-x\)，所以\(f(x,y)=f(x,t-x)\).
\(\mathrm{d}y=\mathrm{d}(t-x)=\mathrm{d}t\).（这里的 \(x\) 是常数，可以直接去掉）

因此

\[上式=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{z}f(x,t-x)\mathrm{d}t \]

注意：此时是二重积分的\(X\)型表示。

换元后的区域为\(t\le z\).

此时，将上述二重积分的\(X\)型表示转换为\(Y\)型表示。

\[上式=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{z}f(x,t-x)\mathrm{d}t =\int_{-\infty}^z \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,t-x)\mathrm{d}x \right] \mathrm{d}t \]

一般来说，二重积分\(X\)型\(Y\)型的互相转换是会导致积分上下限发生改变的，这里因为之前进行了换元，将积分区域转换为了简单的“矩形”，因此积分上下限与原来一样，只是积分次序发生改变。事实上，只要积分区域是“矩形”，就可以随便改变积分次序而不用修改积分上下限。

推导到这里，有：

\[F_Z(z)=\int_{-\infty}^z \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,t-x)\mathrm{d}x \right] \mathrm{d}t \]

又因为\(f_Z(z)=F_Z'(z)\)，根据变上限积分求导公式，有：

\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\mathrm{d}x \]

这里的\(f\)是\(X,Y\)的密度函数，根据上述前提条件：\(X,Y\)相互独立，有：

\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x \]

根据对称性，同样的思路可以推导出\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}y\).

推导完毕.

正态分布的再生性

若\(X,Y\)相互独立且分别服从正态分布\(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)和\(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)，则其任意非零线性组合仍服从正态分布，且

\[aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2) \]

其中\(a,b\)不全为0。

这一结论可以推广到\(n\)个随机变量的情形。

最大值与最小值

\(X,Y\)相互独立，令\(M=\max\{X,Y\}\)，\(N=\min\{X,Y\}\)，则

\(M\)的分布函数为：\(F_M(z)=F_X(z)F_Y(z)\).
\(M\)的密度函数为：\(f_M(z)=f_X(z)F_Y(z)+F_X(z)f_Y(z)\).
\(N\)的分布函数为：\(F_N(z)=1-\left[1-F_X(z)\right]\left[1-F_Y(z)\right]\).
\(N\)的密度函数为：\(f_N(z)=f_X(z)\left[1-F_Y(z)\right]+f_Y(z)\left[1-F_X(z)\right]\)

随机向量的函数的数学期望

设\(Z=g(X,Y)\)，

对于离散型，有\(EZ=\sum\limits_i\sum\limits_jg(x_i,y_j)p_{ij}\)
对于连续型，有\(EZ=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

数学期望的进一步性质

如果随机变量\(X,Y\)的数学期望都存在，则\(E(X+Y)\)存在，且\(E(X+Y)=EX+EY\).
如果\(X,Y\)相互独立且数学期望均存在，则\(E(XY)\)存在，且\(E(XY)=EX\cdot EY\).

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版中国人民大学龙永红主编高等教育出版社

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