目录

一、题目

二、算法求解

1、蛮力算法

伪代码

 算法分析

程序

2、分治策略

伪代码

算法分析

程序

3、动态规划算法

伪代码

算法分析

程序

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一、题目

设A=<a1,a2,...,an>是n个整数的序列，称<ai,....,aj>为该序列的连续子序列，其中1<=i<=j<=n，子序列的元素之和称为A的子段和：

例如，A=<-2,11,-4,13,-5,-2>，那么它的子段和如下：

长度为1的子段和有：-2,11,-4,13,-5,-2

长度为2的子段和有：9,7,9,8,-7

长度为3的子段和有：5,20,4,6

长度为4的子段和有：18,15,2

长度为5的子段和有：13,13

长度为6的子段和有：11

其中的最大子段和为：11-4+13=20

则最大子段和问题为：

给定n个整数的序列A=<a1,a2,...,an>，求

二、算法求解

1、蛮力算法

通过枚举A的所有连续子序列并且求和，通过比较找出具有最大和的子序列。

伪代码

//算法 Enumerate
//输入：数组A[1..n]
//输出：sum,first,last   //sum为最大子段和，first与last分别是和的首末位置

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 算法分析

3个for循环，每次执行O(n)次，循环内部是常数操作，所以该算法的时间复杂度为

程序

//算法3.8 Enumerate
//输入：数组A[1..n]
//输出：sum,first,last

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void Enumerate (int a[],int n)
{
	int sum = 0;
	int i,j,k;
	int first,last;
	for(i = 0;i < n; i++){
		for(j = i;j < n;j++){
			int thissum = 0;
			for(k = i;k <= j; k++){
				thissum = thissum + a[k];
			}
			if(thissum > sum){
				sum = thissum;
				first = i;
				last = j;
			}
		}
	}
	printf("数组A的最大连续子段和为A[%d..%d]=%d",first+1,last+1,sum);
}

int main()
{
	int A[6]={-2,11,-4,13,-5,-2};
	int i;
	for(i = 0;i < 6;i++)
	{
		printf("%d ",A[i]);
	}
	printf("\n");
	Enumerate(A,6); 
	return 0;
}

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2、分治策略

与最邻近点对的算法（参考之前的文章）类似，我们可以在 n/2的位置将 A 划分成A1和 A2前后两半，于是 A 的最大子段和可能是三种情况：

1. 出现在 A1部分
2. 出现在 A 部分，
3. 出现在横跨两边的中间部分

前两种情况恰好对应于两个规模减半的子问题，第三种情况需要特殊处理一下，设原问题的输人是 A [1...n]，中间分点 k = n /2，那么前半部分子问题的输人是 A [1...k]，后半部分子问题的输人是 A [ k +1，n]。在第三种情况下，设这个最大和是 A [ p .. q ]，那么, ，从 A [ p ］到 A [ k ］的元素都在 A1 中，从 A [ k 十1］到 A [ q ］的元素都在 A2 中，我们只需要从 A [ k ］和 A [ k +1］分别向前和向后求和即可，比如以 A [ p ...k ］的计算为例，依次计算 A [ k .. k ], A [ k-1, k ],.., A [1...k]，记下其中最大的和 S1 ，即 A [ p ... k ]，对右半部可以同样处理，只不过扫描方向相反，得到的 S2 就是 A [ k+1... q ］的元素之和，当两个方向的扫描都完成之后,S1+S2 就是横跨中心的最大和，其边界从p到q。这三种情况都计算完成以后，通过比较就可以确定 A 的最大子段和

伪代码

//MaxSubSum(A,left,right) 【分治算法】
//输入：数组A,left,right分别是A的左右边界，1<=left<=right
//输出：A的最大子段和sum及其子段的前后边界

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算法分析

设算法对规模为的输人运行时间是 T ( n )，行3和行4是递归调用，每个子问题是原来问题规模的一半，因此需要2T( n /2）时间，行5和行6的处理需要扫描A的每个元素，总计需要O(n)时间，于是递归方程为：

该方程的解为：

程序

//算法3.9 MaxSubSum(A,left,right) 【分治算法】 
//输入：数组A,left,right分别是A的左右边界，1<=left<=right
//输出：A的最大子段和sum及其子段的前后边界

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct max_info{
	int low;
	int high;
	int sum;
};

struct max_info MaxSubSum(int a[],int left,int right)
{
	struct max_info maxinfo;
	maxinfo.sum = 0;
	int i;
	if(left == right){
		maxinfo.sum = a[left]>0 ? a[left] : 0;
		maxinfo.high = right;
		maxinfo.low = right;
		return maxinfo;
	}
	else{
		
		struct max_info leftinfo;//左侧 
		struct max_info rightinfo;//右侧 
		struct max_info croseinfo;//跨越 
		
		
		int center = (left + right) / 2;
		leftinfo = MaxSubSum(a, left, center);
		rightinfo = MaxSubSum(a, center + 1, right);
		
		
		int s1 = 0;
		int suml = 0;
		for(i = center; i >= left; i--)
		{			
			suml += a[i];
			if(suml > s1) 
			{
				s1 = suml;
				croseinfo.low = i;
			}	
		}
	
		int s2 = 0;
		int sumr = 0;
		for(i = center + 1; i < right; i++)
		{			
			sumr += a[i];
			if(sumr > s2)
			{
				s2 = sumr;
				croseinfo.high = i;	
			}	

		}
		croseinfo.sum = s1 + s2;
		if(croseinfo.sum < leftinfo.sum){
			maxinfo.sum = leftinfo.sum;	
			maxinfo.high = leftinfo.high;
			maxinfo.low = leftinfo.low;
		} 			
		if(croseinfo.sum < rightinfo.sum){
			maxinfo.sum = rightinfo.sum;
			maxinfo.high = rightinfo.high;
			maxinfo.low = rightinfo.low;
		} else{
			maxinfo.sum = croseinfo.sum;
			maxinfo.high = croseinfo.high;
			maxinfo.low = croseinfo.low;
		}
			
	}
	return maxinfo;
}

int main()
{
	struct max_info maxinfo;
	int A[6]={-2,11,-4,13,-5,-2};
	int i;
	for(i = 0;i < 6;i++)
	{
		printf("%d ",A[i]);
	}
	printf("\n");
	maxinfo = MaxSubSum(A,0,5); 
	printf("数组A的最大连续子段和为：A[%d..%d]=%d\n",maxinfo.low+1,maxinfo.high+1,maxinfo.sum);
	return 0;
}

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3、动态规划算法

为了得到更高效的算法，我们需要在子问题之间建立一个简单的递推关系，因此定义一个优化函数

 对于数组A=<2,-5,8,11,-3,4,6>，其优化函数为：C[1]=2、C[2]=-3、C[3]=8、C[4]=19、C[5]=16、C[6]=20、C[7]=26

在这种优化函数中，C [ i +1］可以通过 C[ i ] 直接得到，因为如果 A [1...  i +1 ］的子段 A [ k .. i +1］是使得 C [ i ＋1 ]达到最大和的子段，那么 A [ k ... i ］一定是使得 C [ i ]达到最大和的子段．如若不然，存在一个使得 C[ i ]达到更大和的子段 A [ t ... i ]，那么在 A [ t ... i ］后面加上 A[ i+1 ]所得到的子段 A [ t ... i +1］之和将大于 C [ i +1].这与 C [ i 十1］是 A [1.. i +1］以元素 A [ i +1］作为最后元素的最大子段和矛盾．这恰好验证了这样定义的优化函数满足优化原则于是，我们在考虑怎样选择才能使得 C [ i +1］达到最大值时，只要考虑一个问题：是否需要把 C [ i ]加到 A [ i +1上？而这取决于 C [ i ]是否大于0．

那么递推关系为：

     若A[1]>0,否则C[1]=0

根据上面的递推公式，得到C[1]，C[2]，C[3].....C[n，]恰好枚举了以任何元素为最后元素的所有子段的最大和，我们要找到所求问题的最大子段和，就要对上面n个子段和进行比较，找到其中最大和。

伪代码

//MaxSum(A,n) 【动态规划】
//输入：数组A
//输出：最大子段sum，子段的最后位置c

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算法分析

MaxSum(A,n) 算法只有一个for循环，执行次数为O(n)，循环体内都是常数次运算，因此算法复杂度为O(n)

程序

//算法3.10 MaxSum(A,n) 【动态规划】 
//输入：数组A
//输出：最大子段sum，子段的最后位置c

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

void MaxSum(int A[], int n)
{
	int sum = 0;
	int b = 0;
	int i,c;
	for(i = 0;i < n;i++)
	{
		if(b > 0)
			b= b+A[i];
		else
			b = A[i];
		
		if(b > sum)
		{
			sum = b;
			c = i;
		}
	}
	printf("数组A的最大连续子段和为：%d,且子段最后位置为：%d",sum,c+1);
} 

int main()
{
	int A[7]={2,-5,8,11,-3,4,6};
	int i;
	for(i = 0;i < 7;i++)
	{
		printf("%d ",A[i]);
	}
	printf("\n");
	MaxSum(A,7); 
	return 0;
}