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「自控原理」2.4 信号流图与梅逊公式、闭环传递函数

HuangZi-zi 2024-07-16 原文

本节引入了信号流图以及梅逊增益公式，可以据此快速对系统进行化简
本节引入了闭环传递函数的概念，并介绍了常用的闭环传递函数

文章目录

方框图还是很强大的，但是当系统比较复杂的时候化简方框图就非常繁琐，所以引入信号流图。

信号流图的基本概念

  1. 节点： 表示变量的点。也就是一个物理量。只出不入的节点叫做源节点，只入不出的点叫做阱节点
  2. 支路和增益： 连接两个节点的有向线段称为支路，支路上方标注增益。输出信号等于输入信号乘以增益
  3. 源点和阱点： 用源节点表示输入信号、阱节点表示输出信号
  4. 混合节点： 既有输入又有输出的节点。1出2入为比较点，1入2出为引出点
  5. 通路： 沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径
  6. 前向通路： 从源点到阱点的通路通过任一节点不多于一次，称这个通路为前向通路
  7. 回路： 通路的起点就是终点，称这个通路为回路

信号流图与方框图的关系

从结构图绘制信号流图


第一步画出节点。也就是有多少变量画多少个小圈
然后按照传递函数，写增益。注意反馈的地方，如果是负反馈那么整体的增益需要写上-号，而不能在信号比较的地方画-号。

注意a4和c并不是合并为一个点，因为在信号流图里面是只入不出表示输出，所以需要单独添加一个阱点

从信号流图绘制结构图


根据信号流图先画各个环节。注意要识别比较点和引出点。把箭头变成方框，把圈变成箭头信号。

梅逊(Mason)增益公式

M = 1 Δ ∑ k = 1 N ( P k Δ k ) M=\frac{1}{\Delta}\sum\limits_{k=1}^N(P_k\Delta_k) M=Δ1​k=1∑N​(Pk​Δk​)
其中：
N N N: 系统前向通道数目
P k P_k Pk​: 第k条前向通路的增益
Δ \Delta Δ: 特征式
Δ = 1 − ∑ k L k + ∑ i , j L i L j − ∑ l , m , n L l L m L n + … \Delta=1-\sum\limits_kL_k+\sum\limits_{i,j}L_iL_j-\sum\limits_{l,m,n}L_lL_mL_n+… Δ=1−k∑​Lk​+i,j∑​Li​Lj​−l,m,n∑​Ll​Lm​Ln​+…
或者用文字表示为：
Δ = 1 − \Delta=1- Δ=1−(所有不同单回路增益之和)+(所有可能的两两互不接触回路增益之和)-(所有可能的三个互不接触的回路增益之和)+…
Δ k \Delta_k Δk​： 第k条前向通路特征式的余子式，就是抽去第k条前向通路后剩下的信号流图的特征式 Δ \Delta Δ值。如果第k条前向通路与所有回路都有接触，那么 Δ k = 1 \Delta_k=1 Δk​=1

Mason公式例题

例题1:如图，求传递函数：

首先确定前向通路和回路：

确认有没有两两、三三互不接触的回路（本题没有）
然后就可以写特征式，代入梅逊增益公式计算了
特征余子式这道题第一个前向通道与所有回路都相交所以余子式为1，而第二个前向通路与所有回路都不相交所以余子式为原本的 Δ \Delta Δ

一般来说，给出结构图要求使用梅逊公式的时候并不需要化成信号流图，可以直接从方框图求解。不过这就需要尤其注意正负反馈。比如：例题2: 求传递函数

直接从方框图可以看到前向通路和回路

当更换了输入输出变量后，回路和特征式是不受影响的

用方框图直接代入梅逊公式就一定要注意负反馈带来的 - 号的问题
此外在判断互不接触的回路时也要特别小心，必须从图上看信号流动有没有相交，不能从回路增益中是否含有相同环节判断是否相交。

典型闭环系统的结构图与传递函数

在前面的例题里面也可以看出来，对于同一个系统，可以写出好几个不同的传递函数，在这里做进一步的讲解。

一个典型的闭环系统结构图如图：

使用梅逊增益公式求这些传递函数非常简单。只需要根据不同的输入和输出确定前向通道即可，这里就不写过程了。

开环传递函数

系统的开环传递函数定义为前向通道传递函数与反馈通道传递函数之积
G ( s ) H ( s ) = B ( s ) E ( s ) = G 1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s ) G(s)H(s)=\frac{B(s)}{E(s)}=G_1(s)G_2(s)H(s) G(s)H(s)=E(s)B(s)​=G1​(s)G2​(s)H(s)

闭环传递函数

由于研究线性定常时不变系统，满足叠加原理，因此使r(t)、n(t)分别作用，分别研究其传递函数。
此外系统输出 C ( s ) C(s) C(s)和偏差信号 E ( s ) E(s) E(s)都可以反应系统所处的状态，因此可以分别列写传递函数。

  1. 输入r(t)作用下的闭环传递函数
    Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = G 1 ( s ) G 2 ( s ) 1 + G 1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s ) Φ e ( s ) = E ( s ) R ( s ) = 1 1 + G 1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s ) \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G_1(s)G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}\\ \Phi_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)} Φ(s)=R(s)C(s)​=1+G1​(s)G2​(s)H(s)G1​(s)G2​(s)​Φe​(s)=R(s)E(s)​=1+G1​(s)G2​(s)H(s)1​
  2. 干扰n(t)作用下的闭环传递函数
    Φ n ( s ) = C ( s ) N ( s ) = G 2 ( s ) 1 + G 1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s ) Φ e n ( s ) = E ( s ) N ( s ) = − G 2 ( s ) H ( s ) 1 + G 1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s ) \Phi_n(s)=\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}\\ \Phi_{en}(s)=\frac{E(s)}{N(s)}=\frac{-G_2(s)H(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)} Φn​(s)=N(s)C(s)​=1+G1​(s)G2​(s)H(s)G2​(s)​Φen​(s)=N(s)E(s)​=1+G1​(s)G2​(s)H(s)−G2​(s)H(s)​
  3. 系统的总输出以及总误差
    总输出：
    C ( s ) = G 1 ( s ) G 2 ( s ) ⋅ R ( s ) 1 + G 1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s ) + G 2 ( s ) ⋅ N ( s ) 1 + G 1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s ) C(s)=\frac{G_1(s)G_2(s)\cdot R(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}+\frac{G_2(s)\cdot N(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)} C(s)=1+G1​(s)G2​(s)H(s)G1​(s)G2​(s)⋅R(s)​+1+G1​(s)G2​(s)H(s)G2​(s)⋅N(s)​
    总误差：
    E ( s ) = R ( s ) 1 + G 1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s ) + − G 2 ( s ) H ( s ) ⋅ N ( s ) 1 + G 1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s ) E(s)=\frac{R(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}+\frac{-G_2(s)H(s)\cdot N(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)} E(s)=1+G1​(s)G2​(s)H(s)R(s)​+1+G1​(s)G2​(s)H(s)−G2​(s)H(s)⋅N(s)​

观察各个传递函数，我们发现其分母都是 1 + G 1 G 2 H 1+G_1G_2H 1+G1​G2​H，称这个式子=0为系统的特征方程，反应系统的固有特征，不随输入输出量而改变。特征方程的根叫做特征根。（闭环的特征方程和特征根）
这里需要和前面2.2节提到的特征方程和特征根进行区分。由开环传递函数求得的是开环的特征方程和特征根。

例题：

按照之前的结构，可以直接代入公式计算出各种传递函数。

可以按照不同的输入分别计算输出。

这里是把每一个传递函数都化成时域方程然后再叠加。其实也可以在复域叠加传递函数，然后再化成时域方程。

这个地方偏差没有用传递函数再计算而是直接通过反馈关系叠加出来的。

梅逊自控spanclassstyle算法自动化学习图论考研

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