本系列的完结篇，介绍了连续控制情境下的强化学习方法，确定策略 DPG 和随机策略 AC 算法。

15. 连续控制

15.1 动作空间

• 离散动作空间

  • \(Action \ space \ \mathcal{A}={left,right,up}\)
  • 比如超级玛丽游戏中的向上\向左\向右；
  • 此前博文讨论的，都是离散的控制，动作有限。

• 连续动作空间

  • \(Action \ space \ \mathcal{A}=[0°,360°]×[0°,180°]\)

  • 比如机械臂，如果具有两个运动关节：

• 价值网络 DQN 可以解决离散动作控制的问题，因为 DQN 输出的是有限维度的向量。

  

• 策略网络也同样。

  

• 所以此前的方法不能简单照搬到连续控制。要想应用到连续控制上，可以采用 连续空间离散化。

连续空间离散化：

• 比如机械臂进行二维网格划分。那么有多少个格子，就有多少种动作。
• 缺点：假设d为连续动作空间的自由度，动作离散化后的数量会随着d的增加呈现指数增长，从而造成维度灾难。动作太多会学不好DQN 或 策略网络。
• 所以 离散化 适合自由度较小的问题。

另外还有两个方法：

1. 使用确定策略网络(\(Deterministic \ policy \ network\))
2. 使用随机策略(\(Stochastic \ policy \ network\))。

15.2 DPG | 确定策略

a. 基础了解

Deterministic Policy Gradient.确定策略梯度，可以用于解决连续控制问题。后续引入深度神经网络，就是著名的 DDPG。

DPG 是 Actor-Critic 方法的一种。结构图如下：

• 策略网络 actor

  • 策略网络是确定性的函数 \(a=\pi(s;\theta)\)
  • 输入是状态 s ；输出是一个具体的动作 s；即给定状态输出具体的动作，无随机性。
  • 输出的动作是可以指导运动的实数或向量。

• 价值网络 critic

  • 记作 \(q(s,a;w)\)
  • 输入是状态 s 和 动作 a，基于状态 s，评价动作 a 的好坏程度，输出一个分数 q；

• 训练两个神经网络，让两个网络越来越好。

• 用 TD 算法更新 价值网络：

  1. 观测 transition:\((s_t,a_t,r_t,s_{t+1})\)

  2. 价值网络预测 t 时刻 的动作价值 \(q_t=q(s_t,a_t;w)\)

  3. 价值网络预测 t+1时刻的价值：\(q_{t+1}=q(s_{t+1},a'_{t+1};w)\)

     注意这里的 \(a'_{t+1}\) 是 策略网络 t+1 时刻预选出来的动作，尚未执行。

  4. TD error：\(\delta_t=q_t-\underbrace{(r_t+\gamma\cdot q_{t+1})}_{TD \ target}\)

  5. 更新参数：\(w\leftarrow w-\alpha\cdot\delta_t \cdot \frac{\partial q(s_t,a_t;w)}{\partial w}\)

• 策略网络用 DPG 算法 更新

b. 算法推导

对 DPG 算法进行推导。

• 训练价值网络的目标是，让价值网络的输出 q 越大越好。

• 而在DPG 的网络结构中，在给定状态时，动作是确定的（策略网络会给出一个确定的动作），且价值网络固定，那么影响输出的就是策略网络的参数 \(\theta\)。

• 所以更新 θ 使价值 q 更大；

• 计算价值网络关于 θ 的梯度 DPG：\(g=\frac{\partial q(s,\pi(s;\theta))}{\partial\theta}=\frac{\partial a}{\partial\theta}\cdot\frac{\partial q(s,a;w)}{\partial a}\)

  链式法则，让梯度从价值 q 传播到动作 a；再从 a 传播到策略网络。

• 梯度上升更新 \(\theta\)：\(\theta\leftarrow \theta+\beta\cdot g\)

c. 算法改进1 | 使用 TN

上面的 DPG 是比较原始的版本，用 Target Network 可以提升效果。Target Network 在此前第11篇中讲过，上文中的算法也会出现高估问题或者低估问题。

因为用自身下一时刻的估计来更新此时刻的估计。

Target Network 方法的过程是：

1. 用 价值网络 计算 t 时刻的价值: \(q_t=q(s_t,q_t;w)\)
2. TD target (不同之处):
   • 改用两个不同的神经网络计算 TD target 。
   • 用 target policy network 代替 策略网络 来预选 \(a'_{t+1}\)，网络结构和策略网络一样，但参数不一样；记为 \(a'_{t+1}=\pi(s_{s+1};\theta^-)\)
   • 用 target value network 代替 价值网络 计算 \(q_{t+1}\)，与价值网络结构相同，参数不同；记为 \(q_{t+1}=q(s_{t+1},a'_{t+1};w^-)\)
3. 后续 TD error 以及 参数更新 与 原始算法一致，具体见第11篇

d. 完整过程

1. 策略网络做出选择:\(a=\pi(s;\theta)\)
2. 用 DPG 更新 策略网络：\(\theta\leftarrow \theta+ \beta\cdot\frac{\partial a}{\partial\theta}\cdot\frac{\partial q(s,a;w)}{\partial a}\)
3. 价值网络计算 \(q_t\)：\(q_t=q(s,a;w)\)
4. Target Networks 计算 \(q_{t+1}\)
5. TD error：\(\delta_t=q_t-(r_t+\gamma\cdot q_{t+1})\)
6. 梯度下降：\(w\leftarrow w-\alpha\cdot\delta_t \cdot\frac{\partial q(s,a;w)}{\partial w}\)

同样，之前讲过的其他改进也可以用于这里，如经验回放、multi-step TD Target 等。

15.3 确定策略 VS 随机策略

DPG 使用的是 确定策略网络，跟之前的随机策略不同。

15.4 | 随机策略

这部分来介绍怎么在连续控制问题中应用随机策略梯度。

构造一个策略网络，来做连续控制，这个策略网络与之前学过的相差很大，以机械臂为例：

a. 自由度为 1 的连续动作空间

先从一个简单的情况研究起，自由度为1，这时动作都是实数 \(\mathcal{A}\subset \mathbb{R}\)

• 记均值为 \(\mu\)，标准差是 \(\sigma\) ，都是状态 s 的函数，输出是一个实数
• 假定我们的策略函数是正态分布函数\(N(\mu,\sigma^2)\)：\(π(a|s)=\frac{1}{\sqrt{6.28}\sigma}\cdot exp(-\frac{(a-\mu)^2}{2\sigma^2})\)
• 根据策略函数随机抽样一个动作

b. 自由度 >1 的连续动作空间

而机械臂的自由度通常是3或者更高，把自由度记为 d，动作 a 是一个 d 维的向量。

• 用粗体 \(\boldsymbol{\mu}\) 表示均值，粗体 \(\boldsymbol{\sigma}\) 表示标准差，都是状态 s 的函数，输出是都是 d 维向量
• 用 \(\mu_i\) 和 \(\sigma_i\) 表示 \(\boldsymbol{\mu}(s)\) 和 \(\boldsymbol{\sigma}(s)\) 输出的第 i 个元素，假设各个维度独立，则可以表示成 a 中的函数连乘
• \(π(a|s)=\Pi_{i=1}^d \frac{1}{\sqrt{6.28}\sigma_i}\cdot exp(-\frac{(a_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2})\)

但是问题是，我们不知道 具体的 \(\mu , \sigma\)，我们用神经网络来近似它们。

c. 函数近似

• 用神经网络 \(\mu(s;\theta^\mu)\) 近似 \(\mu\)
• 用神经网络 \(\sigma(s;\theta^\sigma)\)近似 \(\sigma(s)\)，实际上这样效果并不好，近似方差的对数更好:\(\boldsymbol{\rho_i=ln\sigma_i^2},for \ i=1,...,d.\)
• 即用神经网络 \(\boldsymbol\rho(s;\boldsymbol{\theta^\rho})\) 近似 \(\boldsymbol\rho\)；

网络结构如下：

d. 连续控制

1. 观测到 状态 s，输入神经网络；

2. 神经网络输出 \(\hat\mu=\mu(s;\theta^\mu),\hat\rho=\rho(s;\theta^\rho)\)，都是 d 维度

3. \(\hat\rho\) 计算 \(\hat\sigma_i^2=\exp(\hat\rho_i)\)

4. 随机抽样得到动作 a ：\(a_i\sim\mathcal{N}(\hat\mu_i,\hat\sigma_i^2)\)

   这个正态分布是假定的策略函数。

e. 训练策略网络

1. 辅助神经网络

Auxiliary Network, 计算策略梯度时对其求导。

• 随机策略梯度为：\(g(a)=\frac{\partial ln\pi(a|s;\theta)}{\partial\theta}\cdot Q_\pi(s,a)\)

• 计算 \(\pi\) 的对数。

• 策略网络为：\(\pi(A|s;\theta^\mu)=\Pi_{i=1}^d\frac{1}{\sqrt{6.28}}\cdot\exp(-\frac{(a_i--\mu)^2}{2\delta^2_i})\),输出是一个概率密度，表示在某点附近的可能性大小

  虽然可以算出来某个动作的概率，但实际上我们只需要知道 均值 和 方差，来做随机抽样即可，所以实际上我们用不到这个策略函数 \(\pi\)

• 由上面策略梯度公式知：我们需要策略 \(\pi\) 的对数，所以训练时，我们会用到策略 \(\pi\) 的对数，而不是 \(\pi\) 本身：

  \[\ln\pi(a|s;\theta^\mu,\theta^\rho)=\sum_{i=1}^d[-\ln\delta_i-\frac{(a_i-\mu_i)^2}{2\delta^2}]+const \]

• 由于神经网络输出的时方差对数\(\rho_i\)，而不是\(\delta^2_i\)，所以做个替换：\(\delta_i^2=\exp\rho_i\)

• \(\ln\pi(a|s;\theta^\mu,\theta^\rho)=\sum_{i=1}^d[-\ln\delta_i-\frac{(a_i-\mu_i)^2}{2\delta^2}]+const\\=\sum_{i=1}^d[-\frac{\rho_i}{2}-\frac{(a_i-\mu_i)^2}{2\exp(\rho_i)}]+const\)

• 这样 神经网络的对数 就表示成了 \(\rho,\mu\) 的形式，记 \(\theta=(\theta^\mu,\theta^\rho)\)

• 把上式连加的一项记为 \(f(s,a;\theta)\)，这就是辅助神经网络 Auxiliary Network.用于帮助训练。

  • \(f(a,s;\theta)=\sum_{i=1}^d[-\frac{\rho_i}{2}-\frac{(a_i-\mu_i)^2}{2\exp(\rho_i)}]\)

  • f 的输入是 s, a ，依赖于 \(\rho,\mu\)，所以参数也是 \(\theta\)

  • 结构如下：

    

    1. 输入为 \(\underbrace{\mu,\rho}_{s},a\)，输出为一个实数 f；

    2. f 依赖于卷积层和全连接层的参数，所以接下来反向传播，可以算出 f 关于全连接层 Dense 参数的梯度，再算出 关于卷积层参数的梯度：

       

       用 \(\frac{\partial f}{\partial \theta}\) 来表示梯度。

2.策略梯度算法训练策略网络

• 随机策略梯度：\(g(a)=\frac{\partial ln\pi(a|s;\theta)}{\partial\theta}\cdot Q_\pi(s,a)\)

• 辅助神经网路：\(f(s,a;\theta)=\ln\pi(a|s;\theta)+const\)

• 可以注意到，f 的梯度和 \(\ln\pi\) 的梯度相同，可以用前者梯度代替后者，即

  \[g(a)=\frac{\partial f(s,a;\theta)}{\partial \theta}\cdot Q_\pi(s,a) \]

  而 f 作为一个神经网路，成熟的 pytorch 等可以对其自动求导。

• Q 还未知，需对其做近似

  • 具体参见 第14篇
  • Reinforce
    • 用观测到的回报 \(u_t\) 来近似 \(Q_\pi\)
    • 更新策略网络：\(\theta\leftarrow\theta+\beta\cdot\frac{\partial f(s,a;\theta)}{\partial\theta}\cdot u_t\)
  • Actor-Critic（A2C）
    • 用价值网络 \(q(s,a;w)\) 近似 \(Q_\pi\)
    • 更新策略网络：\(\theta\leftarrow\theta+\beta\cdot\frac{\partial f(s,a;\theta)}{\partial\theta}\cdot q(s,a;w)\)
    • 而新引入的价值网络 \(q(S,a;w)\)，用 TD 算法来进行学习。

15.5 总结

1. 连续动作空间有无穷多种动作数量

2. 解决方案包括：

   • 离散动作空间，使用标准DQN或者策略网络进行学习，但是容易引起维度灾难

   • 使用确定策略网络进行学习

     没有随机性，某些情境下不合适。

   • 随机策略网络（\(\mu\) 与 \(\sigma^2\)）

3. 随机策略的训练过程：

   • 构造辅助神经网络 \(f(s,a;\theta)\) 计算策略梯度；
   • 策略梯度近似算法包括：reinforce、Actor-Critic 算法
     • 可以改进 reinforce 算法，使用带有 baseline 的 reinforce 算法
     • 可以改进 Actor-Critic 算法，使用 A2C 算法

本系列完结撒花！

x. 参考教程

• 视频课程：深度强化学习（全）_哔哩哔哩_bilibili
• 视频原地址：https://www.youtube.com/user/wsszju
• 课件地址：https://github.com/wangshusen/DeepLearning
• 参考博客：https://blog.csdn.net/Cyrus_May/article/details/124137445