详解坐标变换矩阵

Akinaze 2023-10-31 原文

在高级驾驶辅助系统（ADAS）领域，存在多种常用的坐标系：LiDAR坐标系、车辆坐标系、相机坐标系、图像坐标系等。在笔者最近的实习过程中，和这些坐标系频繁打交道。作为第一次在CSDN发文，本文将详细总结坐标变换矩阵。

1. 何为坐标变换矩阵（Transformation Matrix）

2. 旋转变换矩阵（Rotation Matrix）

3. 缩放变换矩阵（Scale Matrix）

4. 平移变换矩阵（Translation Matrix）

5. 综合变换

6. 小结

1. 何为坐标变换矩阵（Transformation Matrix）

首先要回答一个问题，何为坐标变换矩阵呢？

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这说明了参照系的选取对我们观察事物的重要性。在以上所举例的坐标系变换的语境下，点是客观存在的，而坐标系则是根据不同的应用场景人为选择的。处理pcd点云数据时，需要三维的LiDAR坐标系；查看图像时，需要二维的图像坐标系（通常为1920*1080等尺寸）。即：

“点不变，坐标系进行变换。”

而坐标变换矩阵，就是在这种变换坐标系的前后，点的数值的变换映射关系矩阵。注意，点不动，坐标系动。下文讨论三种变换矩阵：旋转变换矩阵、缩放变换矩阵和平移变换矩阵。

2. 旋转变换矩阵（Rotation Matrix）

2.1 二维情形

如图1所示，在二维平面xoy上，由绿色坐标系逆时针旋转θ°到蓝色坐标系。可以看到，点A是没有移动的，变化的是点A分别在前后两个坐标系中的坐标，即从 $(x_{g}, y_{g})$ 变换到了 $(x_{b}, y_{b})$ 。

如图1中黑色虚线的分解方式所示，通过矢量分解（类似于物理中力、速度等矢量的分解），将绿色坐标系中的 $(x_{g}, y_{g})$ 分别分解到蓝色坐标系的x轴和y轴上，可以得到：

$\\x_{b} = cos\theta * x_{g} + sin\theta * y_{g} \\ y_{b} = -sin\theta * x_{g} + cos\theta* y_{g}$

用矩阵表示为：

$\begin{bmatrix} x_{b}\\ y_{b} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta\\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{g}\\ y_{g} \end{bmatrix}$

其中R则为二维情形下的旋转变换矩阵，它表示了A点在前后坐标系中的值的映射关系。

$R = \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta\\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

2.2 三维情形

有了上述在二维平面旋转的基础，三维空间的旋转矩阵也就不难得出了。

即绕x轴，y轴，z轴分别进行旋转。最后将这三个旋转变换矩阵相乘，就能得到在三维空间任意角度的旋转变换矩阵了。（xyz轴满足右手系关系）

在绕x轴旋转的时候，可以看作在yoz二维平面上的旋转，此时x的值不变。

$R_{x} =\begin{bmatrix} 1 &0& 0\\ 0 &cos\theta &sin\theta \\ 0 &-sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

在绕y轴旋转的时候，可以看作在zox二维平面上的旋转，此时y的值不变。

$R_{y} =\begin{bmatrix} cos\theta &0& -sin\theta\\ 0 &1&0 \\ sin\theta &0& cos\theta \end{bmatrix}$

在绕z轴旋转的时候，可以看作在xoy二维平面上的旋转，此时z的值不变。

$R_{z} =\begin{bmatrix} cos\theta &sin\theta& 0 \\ -sin\theta &cos\theta&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}$

最终的三维旋转变换矩阵就是上面三个矩阵相乘，意为三维坐标系分别绕x轴、y轴和z轴旋转相应的角度。

$R = R_{x}R_{y}R_{z} =\begin{bmatrix} 1 &0& 0\\ 0 &cos\theta_{x} &sin\theta_{x}\\ 0 &-sin\theta_{x} & cos\theta_{x} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\theta_{y}&0& -sin\theta_{y}\\ 0 &1&0 \\ sin\theta_{y} &0& cos\theta_{y} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\theta_{z} &sin\theta_{z}& 0 \\ -sin\theta_{z} &cos\theta_{z}&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}$

2.3 顺时针？逆时针？

在笔者初次接触旋转概念之时，常常对何时顺时针，何时逆时针十分头疼。

高中就接触到点的旋转矩阵R（rotation matrix of a point），在这种情况下是坐标系不变，点绕坐标原点顺时针旋转 θ°。

$R = \begin{bmatrix} cos\theta & sin \theta\\ -sin\theta & cos \theta \end{bmatrix}$

而在本文的情形下，旋转变换矩阵的形式完全一致，但是方向却相反了——变成了逆时针！究其原因，还是上文老生常谈的那点，高中的矩阵是点动系不动，而本文是系动点不动。因此方向正好相反了。

回到本文的系动点不动，此时再从两种角度推导出顺时针旋转的公式。

1）θ变为-θ：此时就是选择了相反的旋转角度，变成顺时针。

2）求原矩阵的逆矩阵：先逆时针，再顺时针，相当于回到原系，也就是坐标和单位矩阵相乘。

可以得到，坐标系顺时针旋转θ°的旋转变换矩阵为：

$R = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin \theta\\ sin\theta & cos \theta \end{bmatrix}$

3. 缩放变换矩阵（Scale Matrix）

除了旋转变换，还有坐标数值的纯粹放大缩小变换，即缩放变换。下面直接给出缩放变换的公式：

$S = \begin{bmatrix} Scale.x & 0 & 0\\ 0 & Scale.y & 0 \\ 0 & 0 & Scale.z \end{bmatrix}$

上式中点的x, y, z坐标值分别扩大（缩小）了Scale.x, Scale.y, Scale.z倍。

缩放矩阵同样存在“系动点不动”还是“点动系不动”的问题。如果是“点动系不动”，那么S矩阵中的Scale.x, Scale.y, Scale.z就是单纯的点x, y, z的扩大（缩小）倍数。

如果是本文重点探讨的“系动点不动”，那么S矩阵中的Scale.x, Scale.y, Scale.z就是坐标系的x, y, z轴的单位扩大（缩小）倍数的倒数。换言之，如果坐标轴单位放大Scale倍，那么点x, y, z的值就要缩小Scale倍。可以用千米和米的转换来思考这个问题。如果单位是m，一个物体长1000m。当单位变为km后，这个物体就长1km了。单位扩大的同时，数值上从1000缩小为了1。

4. 平移变换矩阵（Translation Matrix）

坐标系的旋转和缩放可以通过3*3的变换矩阵完成，但是平移就需要将3*3扩展到4*4，引入齐次变换矩阵。下面直接给出平移变换矩阵的公式：

$T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & Translation.x \\ 0 & 1 & 0 & Translation.y \\ 0 & 0 & 1 & Translation.z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

具体过程即：

$\begin{bmatrix} x+Translation.x\\ y+Translation.y\\ z+Translation.z\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & Translation.x \\ 0 & 1 & 0 & Translation.y \\ 0 & 0 & 1 & Translation.z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$

平移矩阵同样存在“系动点不动”还是“点动系不动”的问题。

如果是本文重点探讨的“系动点不动”。如果系向左（x轴负方向）/后（y轴负方向）/下（z轴负方向）平移，那么T矩阵中的Translation.x, Translation.y, Translation.z为正；如果系向右（x轴正方向）/前（y轴正方向）/上（z轴正方向）平移，那么T矩阵中的Translation.x, Translation.y, Translation.z为负。可以借助爬楼梯来理解，小明在地面抬头看着5楼，五楼相当于+5。当小明爬到5楼的时候，此时五楼相当于0了。小明爬到10楼的时候，此时五楼就相当于-5了。小明就是坐标系的原点，5楼就是不动的一个点。

5. 综合变换

将变换矩阵和点向量全部齐次化：

$R = R_{x}R_{y}R_{z} = \begin{bmatrix} 1 &0& 0 & 0\\ 0 &cos\theta_{x} &sin\theta_{x}& 0\\ 0 &-sin\theta_{x} & cos\theta_{x} & 0\\0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta_{y}&0& -sin\theta_{y}& 0\\ 0 &1&0& 0 \\ sin\theta_{y} &0& cos\theta_{y}& 0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta_{z} &sin\theta_{z}& 0& 0 \\ -sin\theta_{z} &cos\theta_{z}&0& 0 \\0&0&1 & 0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

$S = \begin{bmatrix} Scale.x & 0 & 0& 0\\ 0 & Scale.y & 0 & 0\\ 0 & 0 & Scale.z & 0\\0& 0&0&1\end{bmatrix}$

$T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & Translation.x \\ 0 & 1 & 0 & Translation.y \\ 0 & 0 & 1 & Translation.z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} x& y& z& 1 \end{bmatrix}^{T}$

那么此时，对于不动点，如果按照“旋转-缩放-平移”的顺序变换坐标系后，此点的值产生如下变换：

${A}' = TSRA$

6. 小结

ADAS中涉及多种坐标系的变换，点的坐标会随着坐标系的变换而变化。坐标变换矩阵就是在坐标系变换前后，点的数值的映射关系矩阵。主要有旋转变换矩阵、缩放变换矩阵和平移变换矩阵等。极其重要和容易混淆的是，在具体的应用场景中，是什么在变，什么不变，是系还是点。矩阵的具体实现可以采用python中的numpy模块。

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