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欧拉角表示的姿态矩阵（313和312转序）

步木木 2025-07-09 原文

一、习惯约定


图片来自 PSINS（高精度捷联惯导算法） PSINS工具箱入门与详解.pptx

二、基本旋转矩阵

绕x轴逆时钟旋转 α \alpha α角度
R x ( α ) = [   1 0 0 0 cos ⁡ α sin ⁡ α 0 − sin ⁡ α cos ⁡ α ] R_x(\alpha)=\begin{bmatrix} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha\end{bmatrix} Rx​(α)= ​ 100​0cosα−sinα​0sinαcosα​ ​
绕y轴逆时钟旋转 α \alpha α角度
R y ( α ) = [   cos ⁡ α 0 − sin ⁡ α 0 1 0 sin ⁡ α 0 cos ⁡ α ] R_y(\alpha)=\begin{bmatrix} \ \cos \alpha & 0 & -\sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \alpha & 0 & \cos \alpha\end{bmatrix} Ry​(α)= ​ cosα0sinα​010​−sinα0cosα​ ​
绕z轴逆时钟旋转 α \alpha α角度
R z ( α ) = [ cos ⁡ α sin ⁡ α 0 − sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 1 ] R_z(\alpha)=\begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rz​(α)= ​cosα−sinα0​sinαcosα0​001​ ​

三、313转序（ZXZ）

ZXZ转序如图所示，转角依次为： ψ \psi ψ、 θ \theta θ、 ϕ \phi ϕ，即绕 z z z轴转 ψ \psi ψ角，在绕 x ′ x' x′轴转 θ \theta θ角，最后绕 z ′ ′ z'' z′′轴转 ϕ \phi ϕ角。

根据基本旋转矩阵，可得出姿态矩阵
C = R z ( ϕ ) R x ( θ ) R z ( ψ ) = [ cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ 0 − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 0 0 0 1 ] [   1 0 0 0 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ cos ⁡ ψ sin ⁡ ψ 0 − sin ⁡ ψ cos ⁡ ψ 0 0 0 1 ] = [ cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ ψ cos ⁡ ϕ sin ⁡ ψ + sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ cos ⁡ ψ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ − cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ + cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ cos ⁡ ψ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ θ cos ⁡ ψ cos ⁡ θ ] \begin{align} C &= R_z(\phi)R_x(\theta)R_z(\psi)\\ &= \begin{bmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0 \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \psi & \sin \psi & 0 \\ -\sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \cos\phi\cos\psi-\sin\phi\cos\theta\sin\psi & \cos\phi\sin\psi+\sin\phi\cos\theta\cos\psi & \sin\phi\sin\theta \\ -\sin\phi\cos\psi-\cos\phi\cos\theta\sin\psi & -\sin\phi\sin\psi+\cos\phi\cos\theta\cos\psi & \cos\phi\sin\theta \\ \sin\theta\sin\psi & -\sin\theta\cos\psi & \cos\theta \end{bmatrix} \end{align} C​=Rz​(ϕ)Rx​(θ)Rz​(ψ)= ​cosϕ−sinϕ0​sinϕcosϕ0​001​ ​ ​ 100​0cosθ−sinθ​0sinθcosθ​ ​ ​cosψ−sinψ0​sinψcosψ0​001​ ​= ​cosϕcosψ−sinϕcosθsinψ−sinϕcosψ−cosϕcosθsinψsinθsinψ​cosϕsinψ+sinϕcosθcosψ−sinϕsinψ+cosϕcosθcosψ−sinθcosψ​sinϕsinθcosϕsinθcosθ​ ​​​
{ ψ = − arctan ⁡ C z x C z y θ = arccos ⁡ C z z ϕ = arctan ⁡ C x z C y z \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} \psi=-\arctan\dfrac{C_{zx}}{C_{zy}} \\ \theta=\arccos{C_{zz}}\\ \phi=\arctan\dfrac{C_{xz}}{C_{yz}} \end{array} \right. \end{equation} ⎩ ⎨ ⎧​ψ=−arctanCzy​Czx​​θ=arccosCzz​ϕ=arctanCyz​Cxz​​​​​

四、312转序（ZXY）


ZXY转序如图所示，转角依次为： ψ \psi ψ、 ϕ \phi ϕ、 θ \theta θ，即绕 z z z轴转 ψ \psi ψ角，在绕 x ′ x' x′轴转 ϕ \phi ϕ角，最后绕 y ′ ′ y'' y′′轴转 θ \theta θ角。

根据基本旋转矩阵，可得出姿态矩阵
C = R y ( θ ) R x ( ϕ ) R z ( ψ ) = [   cos ⁡ θ 0 − sin ⁡ θ 0 1 0 sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ] [   1 0 0 0 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ 0 − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ] [ cos ⁡ ψ sin ⁡ ψ 0 − sin ⁡ ψ cos ⁡ ψ 0 0 0 1 ] = [ cos ⁡ θ cos ⁡ ψ − sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ cos ⁡ θ sin ⁡ ψ + sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ − sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ − cos ⁡ ϕ sin ⁡ ψ cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ + cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ ] \begin{align} C &= R_y(\theta)R_x(\phi)R_z(\psi)\\ &=\begin{bmatrix} \ \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \phi & \sin \phi \\ 0 & -\sin \phi & \cos \phi\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \psi & \sin \psi & 0 \\ -\sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \cos\theta\cos\psi-\sin\theta\sin\phi\sin\psi & \cos\theta\sin\psi+\sin\theta\sin\phi\cos\psi & -\sin\theta\cos\phi \\ -\cos\phi\sin\psi & \cos\phi\cos\psi & \sin\phi \\ \sin\theta\cos\psi+\cos\theta\sin\phi\sin\psi & \sin\theta\sin\psi-\cos\theta\sin\phi\cos\psi & \cos\theta\cos\phi \end{bmatrix} \end{align} C​=Ry​(θ)Rx​(ϕ)Rz​(ψ)= ​ cosθ0sinθ​010​−sinθ0cosθ​ ​ ​ 100​0cosϕ−sinϕ​0sinϕcosϕ​ ​ ​cosψ−sinψ0​sinψcosψ0​001​ ​= ​cosθcosψ−sinθsinϕsinψ−cosϕsinψsinθcosψ+cosθsinϕsinψ​cosθsinψ+sinθsinϕcosψcosϕcosψsinθsinψ−cosθsinϕcosψ​−sinθcosϕsinϕcosθcosϕ​ ​​​
{ ψ = − arctan ⁡ C y x C y y θ = arcsin ⁡ C y z ϕ = − arctan ⁡ C x z C z z \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} \psi=-\arctan\dfrac{C_{yx}}{C_{yy}} \\ \theta=\arcsin{C_{yz}}\\ \phi=-\arctan\dfrac{C_{xz}}{C_{zz}} \end{array} \right. \end{equation} ⎩ ⎨ ⎧​ψ=−arctanCyy​Cyx​​θ=arcsinCyz​ϕ=−arctanCzz​Cxz​​​​​

欧拉姿态spanclassstyle矩阵

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