这一算法来自于我们对“线性递推式拟合”的视角转换，其后得到的算法是自然的。
引理 1. 如果两个有理分式 p 1 / q 1 , p 2 / q 2 p_1/q_1, p_2/q_2 p1/q1,p2/q2 均有 deg p < n , deg q ≤ n \deg p<n, \deg q\leq n degp<n,degq≤n 且展开式 p 1 / q 1 ≡ p 2 / q 2 ( m o d x 2 n ) p_1/q_1 \equiv p_2/q_2 \pmod {x^{2n}} p1/q1≡p2/q2(modx2n)，那么 p 1 / q 1 = p 2 / q 2 p_1/q_1 = p_2/q_2 p1/q1=p2/q2。
证明. 通分，等价于 p 1 q 2 = q 1 p 2 p_1q_2=q_1p_2 p1q2=q1p2，由两边次数均 < 2 n <2n <2n，而同余式保留了全部信息。
这一引理告诉我们，若一个 n n n 阶线性递推式确实拟合了其前 2 n 2n 2n 项，那么通分之后就一定是“最小”的。
为了解决这一问题，我们首先将问题适当泛化：
「有理函数重建」（Rational Function Reconstruction）：给定域上的多项式 f ( x ) , M ( x ) f(x),M(x) f(x),M(x)，设 deg M = n \deg M = n degM=n，当多项式 p , q p,q p,q 满足 deg q ≤ n − k , deg p < k \deg q \leq n-k, \deg p < k degq≤n−k,degp<k 时，若 p ≡ q f ( m o d M ) p\equiv qf \pmod M p≡qf(modM)，那么称 p , q p,q p,q 是一个 ( k , n − k ) (k,n-k) (k,n−k) 有理逼近。
接下来，我们将发现任何一个
k
k
k，都存在
(
k
,
n
−
k
)
(k,n-k)
(k,n−k) 有理逼近。将同余式写作
p
≡
q
f
+
M
t
p\equiv qf + Mt
p≡qf+Mt，这诱导我们考虑欧几里得过程：最初有
[
f
M
]
=
[
1
0
0
1
]
[
f
M
]
\begin{bmatrix} f\\ M \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f\\ M \end{bmatrix}
[fM]=[1001][fM]
在欧几里得的过程中，有中间量
[
A
B
]
=
[
X
A
Y
A
X
B
Y
B
]
[
f
M
]
\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} X_A & Y_A\\ X_B & Y_B\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f\\ M \end{bmatrix}
[AB]=[XAXBYAYB][fM]
不妨设
k
−
1
=
deg
A
≥
deg
B
=
m
k-1=\deg A \ge \deg B=m
k−1=degA≥degB=m，那么我们接下来进行多项式取模，就应当逐步将
A
A
A 的度数从
<
k
<k
<k 降到
<
m
<m
<m，然后交换
A
,
B
A,B
A,B。此时我们归纳假设
deg
X
A
,
deg
X
B
≤
n
−
k
\deg X_A, \deg X_B \leq n-k
degXA,degXB≤n−k，那么由于辗转相除
A
−
d
B
A-dB
A−dB 的系数有
deg
d
<
k
−
m
\deg d < k-m
degd<k−m，可知
f
f
f 的系数
X
A
−
d
X
B
X_A-dX_B
XA−dXB，那么新的系数为
X
A
−
d
X
B
,
X
B
X_A-dX_B,X_B
XA−dXB,XB。度数均
<
n
−
m
< n-m
<n−m。
我们现在设
k
′
=
m
+
1
,
m
′
=
deg
(
A
−
d
B
)
k'=m+1,m'=\deg (A-dB)
k′=m+1,m′=deg(A−dB)，也就有新的系数的度数均
≤
n
−
k
′
\le n-k'
≤n−k′。注意我们每次辗转相除后得到的
(
k
,
n
−
k
)
(k,n-k)
(k,n−k) 有理逼近的
k
k
k 是一段区间，且刚好拼出了
1
∼
n
1\sim n
1∼n 的所有整数。取对应的
p
=
A
,
q
=
X
A
p=A,q=X_A
p=A,q=XA 即可。
辗转相除过程的这个序列通过 HALF-GCD 算法可以在 Θ ( n log 2 n ) \Theta(n\log ^2n) Θ(nlog2n) 时间内计算。严格来说，我们是通过 HALF-GCD 算法计算出的矩阵列，可以算出任何一个阶段的有理函数重建。但对于我们对线性递推式的计算而言，只做 n n n 消到 n / 2 n/2 n/2 这第一轮刚好足够我们求出信息。
不过这里似乎 p , q p,q p,q 是可能有 x x x 的幂的，但如果将引理 1 稍微改改就会发现，如果我们给的数列真的有一个递推式，那就算 p , q p,q p,q 有 x x x 的幂，通分之后肯定还是正确的。
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