北京大学的数学大神韦神韦东奕在前段时间（2023年三月末）出了一道数学题，这篇博客就来讲讲这道题。
设
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
a_1,a_2,\dots,a_n
a1,a2,…,an是
n
n
n个实数，且都在区间
(
−
1
,
1
)
(-1,1)
(−1,1)内。
（1）证明：
∏
1
≤
i
,
j
≤
n
1
+
a
i
a
j
1
−
a
i
a
j
≥
1
\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}\dfrac{1+a_ia_j}{1-a_ia_j}\geq 1
1≤i,j≤n∏1−aiaj1+aiaj≥1
（2）求（1）的不等式中等号成立的充要条件
解：
\qquad
（1）因为
∀
i
∈
[
1
,
n
]
,
a
i
∈
(
−
1
,
1
)
\forall i\in[1,n],a_i\in(-1,1)
∀i∈[1,n],ai∈(−1,1)
\qquad 所以 1 + a i a j > 0 , 1 − a i a j > 0 1+a_ia_j>0,1-a_ia_j>0 1+aiaj>0,1−aiaj>0
∏ 1 ≤ i , j ≤ n 1 + a i a j 1 − a i a j ≥ 1 ⇔ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ln ( 1 + a i a j ) − ln ( 1 − a i a j ) ≥ 0 \qquad \prod\limits_{1\leq i,j\leq n}\dfrac{1+a_ia_j}{1-a_ia_j}\geq 1\Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\ln(1+a_ia_j)-\ln(1-a_ia_j)\geq 0 1≤i,j≤n∏1−aiaj1+aiaj≥1⇔i=1∑nj=1∑nln(1+aiaj)−ln(1−aiaj)≥0
ln ( 1 + x ) \qquad \ln(1+x) ln(1+x)的泰勒展开式为
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ = ∑ k = 1 + ∞ ( − 1 ) k − 1 x k k \ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots=\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}x^k}{k} ln(1+x)=x−2x2+3x3−⋯=k=1∑+∞k(−1)k−1xk
\qquad 所以 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ln ( 1 + a i a j ) − ln ( 1 − a i a j ) ≥ 0 \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\ln(1+a_ia_j)-\ln(1-a_ia_j)\geq 0 i=1∑nj=1∑nln(1+aiaj)−ln(1−aiaj)≥0
= ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( ∑ k = 1 + ∞ ( − 1 ) k − 1 ( a i a j ) k k ) + ( ∑ k = 1 + ∞ ( a i a j ) k k ) \qquad\qquad =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n(\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}(a_ia_j)^k}{k})+(\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(a_ia_j)^k}{k}) =i=1∑nj=1∑n(k=1∑+∞k(−1)k−1(aiaj)k)+(k=1∑+∞k(aiaj)k)
= ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∑ k = 1 + ∞ 2 a i 2 k − 1 a j 2 k − 1 2 k − 1 \qquad\qquad =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{2a_i^{2k-1}a_j^{2k-1}}{2k-1} =i=1∑nj=1∑nk=1∑+∞2k−12ai2k−1aj2k−1
= 2 ∑ k = 1 + ∞ 1 2 k − 1 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i 2 k − 1 a j 2 k − 1 \qquad\qquad =2\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{2k-1}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_i^{2k-1}a_j^{2k-1} =2k=1∑+∞2k−11i=1∑nj=1∑nai2k−1aj2k−1
= 2 ∑ k = 1 + ∞ 1 2 k − 1 ∑ i = 1 n a i 2 k − 1 ∑ j = 1 n a j 2 k − 1 \qquad\qquad =2\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{2k-1}\sum\limits_{i=1}^na_i^{2k-1}\sum\limits_{j=1}^na_j^{2k-1} =2k=1∑+∞2k−11i=1∑nai2k−1j=1∑naj2k−1
= 2 ∑ k = 1 + ∞ 1 2 k − 1 ( ∑ i = 1 n a i 2 k − 1 ) 2 ≥ 0 \qquad\qquad =2\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{2k-1}(\sum\limits_{i=1}^na_i^{2k-1})^2\geq 0 =2k=1∑+∞2k−11(i=1∑nai2k−1)2≥0
\qquad 所以 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ln ( 1 + a i a j ) − ln ( 1 − a i a j ) ≥ 0 \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\ln(1+a_ia_j)-\ln(1-a_ia_j)\geq 0 i=1∑nj=1∑nln(1+aiaj)−ln(1−aiaj)≥0
\qquad 得证 ∏ 1 ≤ i , j ≤ n 1 + a i a j 1 − a i a j ≥ 1 \prod\limits_{1\leq i,j\leq n}\dfrac{1+a_ia_j}{1-a_ia_j}\geq 1 1≤i,j≤n∏1−aiaj1+aiaj≥1
\qquad （2）由（1）得当且仅当 ∀ k ∈ N + , ∑ i = 1 n a 2 k − 1 = 0 \forall k\in N^+,\sum\limits_{i=1}^na^{2k-1}=0 ∀k∈N+,i=1∑na2k−1=0时等式取等
\qquad 令 b b b为 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an中绝对值最大的数的绝对值， b b b在 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an中出现的个数为 p p p， − b -b −b出现的次数为 q q q
\qquad 当 k → + ∞ k\rightarrow +\infty k→+∞时，若 p ≠ q p\neq q p=q，则 ∑ i = 1 n a 2 k − 1 ≠ 0 \sum\limits_{i=1}^na^{2k-1}\neq 0 i=1∑na2k−1=0
\qquad 所以 p = q p=q p=q
\qquad 将 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an中绝对值为 b b b的数去掉，再进行上述步骤，可得正负个数相等
\qquad 以此类推，当且仅当 ∀ b ∈ ( − 1 , 1 ) \forall b\in(-1,1) ∀b∈(−1,1)， b b b在 a 1 , a 2 … , a n a_1,a_2\dots,a_n a1,a2…,an中出现次数相等时等号成立
1.在Python3中，下列关于数学运算结果正确的是:（B）a=10b=3print(a//b)print(a%b)print(a/b)A.3，3，3.3333...B.3，1，3.3333...C.3.3333...，3.3333...，3D.3.3333...，1，3.3333...解析： 在Python中，//表示地板除（向下取整），%表示取余，/表示除（Python2向下取整返回3）2.如下程序Python2会打印多少个数:（D）k=1000whilek>1: print(k)k=k/2A.1000 B.10C.11D.9解析： 按照题意每次循环K/2，直到K值小于等
目录一.逻辑控制+方法1.java输入2.循环输入3.switch4.循环结构 5.三种输出6.java生成随机数7.java方法二.习题+方法21.返回二进制中1的个数2.获取一个二进制序列中的偶数位和奇数位，分别输出二进制序列3.JAVA比较字符串是否相同4.牛客网ACM书写格式5.方法的重载一.逻辑控制+方法1.java输入注意大小写！下面代码会出现什么问题？？2.循环输入Ctrl+D结束循环输入3.switch面试问题：不能做switch()参数的类型有哪些？longfloatdoubleboolean(其他的都可以)4.循环结构 continue该程序运行的结果是什么？？5.三种输出
我在第三个练习中停留在第四个RailsforZombies实验室。这是我的任务:创建将创建新僵尸的操作，然后重定向到创建的僵尸的显示页面。我有以下参数数组:params={:zombie=>{:name=>"Greg",:graveyard=>"TBA"}}我写了下面的代码作为解决方案:defcreate@zombie=Zombie.create@zombie.name=params[:zombie[:name]]@zombie.graveyard=params[:zombie[:graveyard]]@zombie.saveredirect_to(create_zombie_path
一、知识框架二、练习题调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差σ＝1.0盎司的正态分布。随机抽取这台机器灌装的9个瓶子组成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。解：设每个瓶子的灌装量为X，X为样本均值，样本容量为n。由于总体X服从正态分布，样本均值X也服从正态分布，且均值相同，标准差为所以三、简述题1什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？答：（1）统计量的定义：设X1，X2，…，Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T（X1，X2，…，X
我试图解决在线书籍eloquentjavascript2ndedition的递归练习:问题是这样的:We’veseenthat%(theremainderoperator)canbeusedtotestwhetheranumberisevenoroddbyusing%2tocheckifit’sdivisiblebytwo.Here’sanotherwaytodefinewhethera(positive,whole)numberisevenorodd:Zeroiseven.Oneisodd.ForanyothernumberN,itsevennessisthesameasN-2.De
我刚拿到DouglasCrockford的Javascript:TheGoodParts，我在理解他关于原型(prototype)的示例之一时遇到了一些困难。书中代码如下:if(typeofObject.create!=="function"){Object.create=function(o){varF=function(){}F.prototype=o;returnnewF;};}我假设此代码用于定位函数的原型(prototype)。但为什么要使用如此复杂的方法呢？为什么不直接使用variable.prototype？Crockford是Javascript方面的领先专家，因此我确
按照目前的情况，这个问题不适合我们的问答形式。我们希望答案得到事实、引用或专业知识的支持，但这个问题可能会引发辩论、争论、投票或扩展讨论。如果您觉得这个问题可以改进并可能重新打开，visitthehelpcenter指导。关闭11年前。我目前有Notepad++和AptanaStudio。是否有任何其他开发环境可以简化javascript代码的编写？谢谢。
反转二维数组的值，可以扩展n次。[1,[2,[3,...[n,null]]]]给定:所有数组的长度始终为2列表中的最后一个数组将包含一个null索引1示例:[1,[2,[3,null]]]将输出[3,[2,[1,null]]][1,[2,[3,[4,null]]]]会输出[4,[3,[2,[1,null]]]]我不确定我描述的是否正确，但我今天遇到了这个练习并想出了一个相当明显的解决方案。varars=[1,[2,[3,null]]],rev=null;functionr(x){rev=(rev==null)?[x[0]]:[x[0],rev];if(x[1]!==null)r(x[1
综合练习一题目要求：实验范图实现PC机之间互通配置思路：配置过程：配置终端设备及3700交换机实现此案例需要按照如下步骤进行。1）配置PC的IP地址和网关2）配置SW1/5/6的vlan为10/20/30，交换机之间的链路为Trunk，与PC间为Access3）配置SW2/3/7的vlan为40/50，交换机之间的链路为Trunk，与PC间为Access4）配置SW4/8/9的vlan为60/70/80，交换机之间的链路为Trunk，与PC间为Access5）配置R1/R2/R3的接口IP地址6）配置每个VLAN的网关接口IP地址SW1为vlan10/20/30的网关设备:interfacev
1.要求：1.根据提示，在指定位置写出编译版本，要求使用^符号，版本要求在0.6.0及以上。2.根据提示，在指定位置写出所定义的合约名称。3.为了查看程序的效果，我们使用在线Solidity开发工具RemixIDE编译和运行Solidity程序。中文在线版：在浏览器打开下方链接： Remix-中文版-智谷星图。第1步–在文件浏览器选项卡下，新建一个Firstapp.sol文件，把我们补充完整的代码直接复制过来。第2步–在SOLIDITY编译器选项卡下，选择0.6.5的那个编译器版本并单击 编译Firstapp.sol 按钮，开始编译。编译成功后会根据本地客户端和版本内容弹出提示，可以不用处理。
