【MATLAB】求解约束条件下的目标函数最值（fmincon用法解析）
Matlab 的函数 fmincon 用来求最小约束非线性多变量函数，是一个非线性编程求解器，算出指定的问题的最小值。
注： fmincon 同样可以用来求约束条件下的最大值，主要将目标函数取反（前面加一个负号）即可。
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
输入参数：
输出参数：
fmincon 求解函数的基本形式：
约束条件下的函数极值有是三种情况
（1）线性不等式约束；
（2）线性等式约束；
（3）非线性不等式和等式约束；
线性不等式约束条件如下：
将不等式化为矩阵形式：
fmincon函数的参数可以确定为：
A = [1,2; 3,4; 5,6];
b = [10; 20; 30];
线性等式约束条件如下：
同理转换为矩阵后，可知约束参数为：
Aeq = [1,2,3; 2,4,1];
beq = [10; 20];
非线性约束条件如下：
确认为参数时，需要设置为函数形式、。
function [c,ceq]=mycon(x)
c=-x(1)^2+x(2); %此处不要忘记将不等式改成不等式<=0的标准形式
ceq=-x(1)-x(2)^2+2;
注：函数调用时，nonlcon 参数值为 ‘函数名’
以上是关于求目标函数
f = 100 ∗ （ x 2 − x 1 ） 2 + ( 1 − x 1 ) 2 f=100 *（x_2-x_1）^2+(1-x_1)^2 f=100∗（x2−x1）2+(1−x1)2
在线性约束 x 1 + 2 x 2 ≤ 1 x_1+2x_2\le1 x1+2x2≤1 条件下的最小值，结果如下：
目标函数：
function f = fminx(x)
f = 100 * (x(2) - x(1)).^2 + (1-x(1)).^2;
end
fmincon函数的使用：
[x,fval,exitflag] = fmincon(@(x) fminx(x),[0,0],[1,2],[1])
结果：
x =
0.3363 0.3319
fval =
0.4425
exitflag =
1
注：结果含义为 在 x 1 = 0.3363 , x 2 = 0.3319 时，取最小值： y = 0.4425 x_1=0.3363, x_2=0.3319时，取最小值：y=0.4425 x1=0.3363,x2=0.3319时，取最小值：y=0.4425
目标函数：
f
=
100
∗
（
x
2
−
x
1
）
2
+
(
1
−
x
1
)
2
f=100 *（x_2-x_1）^2+(1-x_1)^2
f=100∗（x2−x1）2+(1−x1)2
约束条件：
这次使用目标函数为匿名函数的方式，一步到位：
fun=@(x)100*(x(2)-x(1))^2+(1-x(1))^2;
x0=[0,0];
A=[1,2];
b=10;
Aeq=[3,4];
beq=20;
[x,fval,exitflag] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
结果为：
x =
2.8511 2.8617
fval =
3.4378
exitflag =
1
上面两题只有目标函数是非线性的，如果其约束条件也是非线性的，我们又该怎么办呢？
示例1：
目标函数求值代码：
fun = @(x)x(1)^2+x(2)^2+12;
x0 = rand(2,1);
A=[];
Aeq=[];
b=[];
beq=[];
lb=[0,0];
ub=[];
exitflag=1;
[x,fval,exitflag] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'mycon')
非线性约束条件:
function [c,ceq] = mycon(x)
c = x(1)^2+2*x(2);
ceq = 5*x(1)-4*x(2)^2-20;
结果为：
x =
1.2471
0.0000
fval =
13.5552
exitflag =
-2
示例2：
目标函数为: f u n = 100 ∗ ( x 2 − x 1 ) 2 + ( 1 − x 1 ) 2 fun = 100*(x_2-x_1)^2 +(1-x_1)^2 fun=100∗(x2−x1)2+(1−x1)2
约束条件：在以 （ 1 / 3 ， 1 / 3 ） （1/3，1/3） （1/3，1/3）为圆心，1/3 为半径, 0 ≤ x 1 ≤ 0.5 ， 0.2 ≤ x 2 ≤ 0.8 0 ≤ x _1 ≤ 0.5 ， 0.2≤x_2≤0.8 0≤x1≤0.5，0.2≤x2≤0.8 的边界约束
function f=fun1(x)
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
end
function [g,h]=fun2(x)
g=(x(1)-1/3)^2+(x(2)-1/3)^2-1/9;
h=[];
end
[x,y] = fmincon('fun1',[1/3,1/3],[],[],[],[],lb,ub,'fun2')
结果如下:
x =
0.5000 0.2500
y =
0.2500
非线性规划求最值的fmincon函数其实和线性规划的improg大同小异，关键是对非线性约束条件的把握，即nonlcon，以及option（一般情况下我们不用管，默认值就可以了，有需求具体查阅使用即可）。
参考博客|：
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