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[概率论与数理统计]笔记：4.2 统计量

feixianxing 2023-03-28 原文

4.2 统计量

统计量的定义

样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量。

常用的统计量

样本均值

即样本的算术平均值：

\[\overline{X}=\frac{1}{n}(X_1,X_2,\cdots,X_n) \]

样本方差

  • 未修正样本方差

    \[S_0^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2, \]

  • 修正样本方差

    \[S^2=\frac{n}{n-1}S_0^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2, \]

    修正样本方差具有更好的统计性质而更常用。

    修正样本方差简称样本方差。

样本标准差

即样本方差的算术平方根：

\[S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2} \]

样本原点矩

样本的\(k\)阶原点矩：

\[A_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^k,\quad\quad k\ge 1 \]

一阶原点矩就是样本均值。

样本中心矩

样本的\(k\)阶中心矩：

\[B_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^k,\quad\quad k\ge 2 \]

二阶中心矩就是未修正样本方差。

样本均值，样本方差，样本标准差，样本原点矩，样本中心矩可统称为样本的矩统计量，简称为样本矩。

它们都可以表示为样本的显式函数。

顺序统计量则不能表示为显式函数。

顺序统计量

将样本中的分量按由小到大的顺序排列：

\[X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)} \]

将\((X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)})\)称为样本的一组顺序统计量。

  • \(X_{(1)}=\min(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)
  • \(X_{(n)}=\max(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)
  • 极差：\(X_{(n)}-X_{(1)}\)

枢轴量

统计量不包含未知参数，而对于仅含一个未知参数，分布已知的样本函数，称为枢轴量。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社

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