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逻辑电路&代数运算（下）

Wu_ShF 2023-08-04 原文

在逻辑代数中，卡诺图（Karnaugh map）是真值表的变形，它可以将有n个变量的逻辑函数的2^n个最小项组织在给定的长方形表格中，同时为相邻最小项（相邻与项）运用邻接律化简提供了直观的图形工具。但是，如果需要处理的逻辑函数的自变量较多（有五个或更多的时候，此时有些项就很难圈了），那么卡诺图的行列数将迅速增加，使图形更加复杂。

前面的理论部分摘抄自维基百科，可以直接跳到后面
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变量卡诺图&格雷码

  • 表示各最小项的2^n（n-变量数）个小格，排列呈矩形。
  • 小格按“格雷码” 排列，保证最小项间“几何相邻”与“逻辑相邻性”的统一。（几何相邻有“内相邻” “外相邻”和“中心对称”）

格雷码的应用

格雷码（循环二进制单位距离码）是任意两个相邻数的代码只有一位二进制数不同的编码，它与奇偶校验码同属可靠性编码。

格雷码能避免讯号传送错误的原理

传统的二进制系统例如数字3的表示法为011，要切换为邻近的数字4，也就是100时，装置中的三个位元都得要转换，因此于未完全转换的过程时装置会经历短暂的，010,001,101,110,111等其中数种状态，也就是代表着2、1、5、6、7，因此此种数字编码方法于邻近数字转换时有比较大的误差可能范围。格雷码的发明即是用来将误差之可能性缩减至最小，编码的方式定义为每个邻近数字都只相差一个位元，因此也称为最小差异码，可以使装置做数字步进时只更动最少的位元数以提高稳定性。 数字0～7的编码比较如下：

十进制 　 格雷码　二进制
0  　　 000    000
1  　　 001    001
2   　　011    010
3   　　010    011
4   　　110    100
5   　　111    101
6   　　101    110
7   　　100    111

格雷码的构建方法

直接排列：

  • 以二进制为0值的格雷码为第零项，第一项改变最右边的位元，第二项改变右起第一个为1的位元的左边位元，第三、四项方法同第一、二项，如此反复，即可排列出n个位元的格雷码。

镜射排列：

函数卡诺图

  • 最小项（Σm）：把函数包含的所有最小项，以“1”填入变量卡诺图对应编号的小格内。
  • 最大项（ΠM）：把函数包含的所有最大项，以“0”填入变量卡诺图对应编号的小格内。

用卡诺图化简逻辑函数的步骤

  • 如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图
  • 如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。
  • 合并相邻的最小项，即根据下述原则画圈
    • 尽量画大圈，但每个圈内只能含有2^n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
    • 圈的个数尽量少。
    • 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。
    • 在新画的包围圈中至少要含有1个未被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
  • 写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。

在进行化简时，如果用图中真值为0的项更方便，可以用他们来处理，方法和真值取1时一样，只是结果要再做一次求反。
这一部分主要以卡诺图为主。

以下结合例题介绍如何操作

逻辑函数化简

卡诺图化简逻辑函数

卡诺图的画法

F=Σm(1,5,6,7,11,12,13,15)

解题步骤：

  1. 确定变量数目。
  2. 画出卡诺图。
  3. 按照编号填1。
AB\CD00011110
001(1)
011(5)1(7)1(6)
111(12)1(13)1(15)
101(11)

F=AB+AC+B'C'+A'B'

解题步骤：

  1. 写出最小项形式：原变量为1，反变量为0.
  2. 画出卡诺图。
  3. 按编号填1。

F=AB+AC+B'C'+A'B'
F=11x+1x1+x00+00x
x分别代入0和1，填入。

A\BC00011110
01(x00)(00x)1(00x)
11(x00)1(1x1)1(11x)(1x1)1(11x)

若两个最小项相邻，则二者仅有一个变量不同。
n变量有n个逻辑相邻项。（每个变量都变一下，能变n下，故有n个）

利用卡诺图化简逻辑函数

解题步骤：

  1. 画卡诺图。
  2. 画卡诺圈。
  3. 写出卡诺圈对应的逻辑表达式。
  4. 相或。

卡诺圈先找8个连续的1，然后找4个连续的1，然后找2个，直到所有的1都被圈起来。

  • 如果一个变量既出现了0又出现了1，就把它消掉。
  • 如果出现了0，就写它的反变量。
  • 如果出现了1，就写它的原变量。

卡诺图化简带有无关项的逻辑函数

F(A,B,C,D)=Σm(0,4,9,13,14)+Σd(2,5,7,8,10,15)

  1. 利用最小项，在卡诺图中填写1。
  2. 根据无关项对应编号，在卡诺图中填写0。

已知函数Y=AB'C'+B'C'D+A'C'D+AB'CD'+A'B'CD'中所有输入变量不能同时为0，且A,B变量不能同时为1。用卡诺图化简法化简该逻辑函数。

对于题干中的：

  • 所有输入变量不能同时为0。
  • 且A,B变量不能同时为1。

可以认为是无关项，在卡诺图中填充为x。

用卡诺图化简法将以下函数化简为最简与或形式
Y=CD’(A⊕B)+A’BC’+A’C’D
约束条件：AB+CD=0

如果逻辑函数比较复杂，无法写出它的最小项，那么就利用真值表来画卡诺图。

  • 约束条件是对输入的约束，也就是只有当输入满足条件时，它的输入才是有效的。
  • 如果输入不满足条件，那么他就是无关项。

多输出函数化简

以下两幅图片来自博客园的大佬。
在此呈上链接：https://www.cnblogs.com/liuyz1996/p/15700133.html

化简与或&化简或与

前面的例子都是在化简成与或式。
如果要化简成或与式。

  1. 把0看成1，把1看成0.
  2. 用圈1的方法圈新1。
  3. 写出最简与或式，利用反演规则，变成新式子。
  4. 新式子就是最简或与式。

每个逻辑函数可能有多个最简与或和最简或与！

电路分析与设计

组合电路分析

逻辑功能、逻辑表达式、卡诺图、波形之间的相互转换。

同或
A⊙B=A'B'+AB

一位全加器
输入中，Ci是来自低位的进位。
结果中，Co是高位，S是低位。

半加器

全加器和半加器的区别就是，全加器包含了来自低位的进位。

根据波形列出真值表、画出卡诺图

组合逻辑电路设计

从逻辑电路图得到逻辑表达式时：

  • 从输入依次得到输出。

从逻辑表达式得到逻辑电路图时：

  • 从输出依次得到输入。

题目中将D作为了高位，我们写真值表时也应该按照题目的顺序来写。
画卡诺图时也应按新的顺序来写。

BCD码只能表示0-9十位数字，所以10-16就是无关项，在卡诺图中填x。
利用与或求与非的步骤：

  1. 加两个长非号。
  2. 反演规则。
  3. 得到与非表达式。

竞争与冒险

组合逻辑电路的竞争与冒险是由于电路中存在延时引起的。
当卡诺圈存在相切时，就存在竞争与冒险。
要消除竞争与冒险，就要把相切的部分给消除掉。变成相交。

amp逻辑电路卡诺61算法

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