函数与导数大题：2018年理数全国卷C题21

易水樵 2023-03-28 原文

2018年理数全国卷C题21

已知函数 $f(x) = (2+x+a x^2) \ln (1+x) -2x$ .

（1）若，证明∶当 $-1 \lt x \lt 0$ 时， $f(x) \lt 0$ ；当 $x \gt 0$ 时， $f(x) \gt 0$ ;

（2）若是的极大值点，求 .

【解答问题1】

函数的定义域为 $(-1,+\infty)$ .

若，则 $f(x)=(2+x) \ln(1+x)-2x$

$f'(x)=\ln(1+x)+\dfrac{1}{1+x}-1$

$f''(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{(1+x)^2}$

$f''(x)=\dfrac{1}{1+x}(1-\dfrac{1}{1+x})$

$x \in (-1,0), f''(x) \lt 0, \Rightarrow$ 函数单调递减， $\Rightarrow f'(x) \gt f'(0) \Rightarrow f'(x) \gt 0, \Rightarrow$ 单调递增， $f(x) \lt f(0) \Rightarrow f(x) \lt 0$ ;

$x \in (0,+\infty), f''(x) \gt 0, \Rightarrow$ 函数单调递增， $\Rightarrow f'(x) \gt f'(0) \Rightarrow f'(x) \gt 0, \Rightarrow$ 单调递增， $f(x) \gt f(0) \Rightarrow f(x) \gt 0$ ;

证明完毕.

【解答问题2】

$f(x) = (2+x+a x^2) \ln (1+x) -2x$

$f'(x)=(2ax+1)\ln(x+1)+\dfrac{a+1}{x+1}+ax-(a+1)$

$f''(x)=2a\ln(x+1)+\dfrac{1-2a}{x+1}-\dfrac{a+1}{(x+1)^2}+3a$

令，则

$g'(x)=\dfrac{2a}{x+1}+\dfrac{2a-1}{(x+1)^2}+\dfrac{2(a+1)}{(x+1)^2}$

$g'(x)=\dfrac{2a(x+1)^2+(2a-1)(x+1)+2a+2}{(x+1)^3}$

若是的极大值点，则存在 $x_1 \lt 0 \lt x_2$ , 使得在区间内，单调递增，在区间内，单调递减.

相应地，其一阶导函数的值有以下特征：

;

$x \in (x_1,0), f'(x) \gt 0$ ;

$x \in (0,x_2), f'(x) \lt 0$ ;

其二阶导函数存在两种情况：

① $x \in (x_1,x_2), f''(x) \lt 0$ ;

② $f''(x)=0, x \in (x_1,0), f''(x) \lt 0, x \in (0,x_2), f''(x) \lt 0$ ;

本题中，, 情况 ① 不成立，所以情况 ② 成立。换言之，同时也是的极值点，必要条件是：

解得： $a=-\dfrac{1}{6}$

又∵ $g'(x)=\dfrac{2a(x+1)^2+(2a-1)(x+1)+2a+2}{(x+1)^3}$

∴ 当 $a=-\dfrac{1}{6}$ , 存在 $x_1 \lt x \lt x_2$ , 使得 $f''(x)=0, x \in (x_1,0), f''(x) \lt 0, x \in (0,x_2), f''(x) \lt 0$

综上所述， $a=-\dfrac{1}{6}$ 既是必要条件，也是充分条件.

【提炼与提高】

对于极值问题，求导是个好办法。如果一次不行，还可以两次、三次。

需要注意的是：仅仅是函数在处取得极值的必要条件，而并非充分条件.

举例来说，对于来说，是极值点；而对于来说，则不是极值点，而是一个驻点。

在高中阶段接触的函数都是连续函数。对于这类函数，根据一阶、二阶导数来判断其极值点的方法如下：

（1）如果 $f'(x_0)=0, f''(x_0) \gt 0$ , 则是函数的极小值点；

（2）如果 $f'(x_0)=0, f''(x_0) \lt 0$ , 则是函数的极大值点；

（3）如果 , 则需要根据更高阶的导函数来判断。举例说明如下。

例一：记

$g'(x)=3x^2,g''(x)=6x, g^{(3)}(x)=6$ ,

$g^{(x)}(0)\gt 0, g''(0)=0$

$\Rightarrow$

$x \in (x_1,0), g''(x)\lt 0, x \in (0,x_2), g''(x) \gt 0$

$\Rightarrow$

$x \in (x_1,0), g(x)\gt 0, x \in (0,x_2), g'(x) \gt 0$

$\Rightarrow$

不是函数的极值点，而是驻点；

例二：记

$h'(x)=4x^3, h''(x)=12x^2, h^{(3)}(x) =24x, h^{(4)}(x)=24$ ;

$h'(0)=h''(0)=h^{(3)}=0$

$h^{(4)}(x) \gt 0, h^{(3)}(0)=0$

$\Rightarrow$

$x \in (x_1,0), h^{(3)}(x) \lt 0, x \in (0,x_2), h^{(3)}(x) \gt 0,$

$\Rightarrow$

$x \in (x_1,0), h''(x) \gt 0, x \in (0,x_2), h''(x) \gt 0,$

$\Rightarrow$

$x \in (x_1,0), h(x) \lt 0, x \in (0,x_2), h'(x) \gt 0,$

$\Rightarrow$

是函数的极值点；

记住以上两个实例，遇到类似问题，可以依法炮制.

有关函数与导数大题：2018年理数全国卷C题21的更多相关文章

ruby - 在没有 sass 引擎的情况下使用 sass 颜色函数 - 2
我想在一个没有Sass引擎的类中使用Sass颜色函数。我已经在项目中使用了sassgem，所以我认为搭载会像以下一样简单:classRectangleincludeSass::Script::FunctionsdefcolorSass::Script::Color.new([0x82,0x39,0x06])enddefrender#hamlengineexecutedwithcontextofself#sothatwithintemlateicouldcall#%stop{offset:'0%',stop:{color:lighten(color)}}endend更新:参见上面的#re
ruby-on-rails - 在 ruby 中使用 gsub 函数替换单词 - 2
我正在尝试用ruby中的gsub函数替换字符串中的某些单词，但有时效果很好，在某些情况下会出现此错误？这种格式有什么问题吗NoMethodError(undefinedmethod`gsub!'fornil:NilClass):模型.rbclassTest"replacethisID1",WAY=>"replacethisID2andID3",DELTA=>"replacethisID4"}end另一个模型.rbclassCheck 最佳答案啊，我找到了!gsub!是一个非常奇怪的方法。首先，它替换了字符串，所以它实际上修改了
ruby - 在 Ruby 中有条件地定义函数 - 2
我有一些代码在几个不同的位置之一运行:作为具有调试输出的命令行工具，作为不接受任何输出的更大程序的一部分，以及在Rails环境中。有时我需要根据代码的位置对代码进行细微的更改，我意识到以下样式似乎可行:print"Testingnestedfunctionsdefined\n"CLI=trueifCLIdeftest_printprint"CommandLineVersion\n"endelsedeftest_printprint"ReleaseVersion\n"endendtest_print()这导致:TestingnestedfunctionsdefinedCommandLin
ruby - 在 Ruby 中按名称传递函数 - 2
如何在Ruby中按名称传递函数？(我使用Ruby才几个小时，所以我还在想办法。)nums=[1,2,3,4]#Thisworks,butismoreverbosethanI'dlikenums.eachdo|i|putsiend#InJS,Icouldjustdosomethinglike:#nums.forEach(console.log)#InF#,itwouldbesomethinglike:#List.iternums(printf"%A")#InRuby,IwishIcoulddosomethinglike:nums.eachputs在Ruby中能不能做到类似的简洁？我可以只
C51单片机——实现用独立按键控制LED亮灭（调用函数篇） - 2
说在前面这部分我本来是合为一篇来写的，因为目的是一样的，都是通过独立按键来控制LED闪灭本质上是起到开关的作用，即调用函数和中断函数。但是写一篇太累了，我还是决定分为两篇写，这篇是调用函数篇。在本篇中你主要看到这些东西！！！1.调用函数的方法（主要讲语法和格式）2.独立按键如何控制LED亮灭3.程序中的一些细节（软件消抖等）1.调用函数的方法思路还是比较清晰地，就是通过按下按键来控制LED闪灭，即每按下一次，LED取反一次。重要的是，把按键与LED联系在一起。我打算用K1来作为开关，看了一下开发板原理图，K1连接的是单片机的P31口，当按下K1时，P31是与GND相连的，也就是说，当我按下去时
ruby-on-rails - 将字符串转换为 ruby-on-rails 中的函数 - 2
我需要一个通过输入字符串进行计算的方法，像这样function="(a/b)*100"a=25b=50function.something>>50有什么方法吗？最佳答案您可以使用instance_eval:function="(a/b)*100"a=25.0b=50instance_evalfunction#=>50.0请注意，使用eval本质上是不安全的，尤其是当您使用外部输入时，因为它可能包含注入(inject)的恶意代码。另请注意，a设置为25.0而不是25，因为如果它是整数a/b将导致0(整数)。
ruby - 在 ruby 中使用 .try 函数和 .map 函数 - 2
我需要从json记录中获取一些值并像下面这样提取curr_json_doc['title']['genre'].map{|s|s['name']}.join(',')但对于某些记录，curr_json_doc['title']['genre']可以为空。所以我想对map和join()使用try函数。我试过如下curr_json_doc['title']['genre'].try(:map,{|s|s['name']}).try(:join,(','))但是没用。最佳答案你没有正确传递block。block被传递给参数括号外的方法
ruby - 是否可以从也在该模块中的类内部调用模块函数 - 2
在这段Ruby代码中:ModuleMClassC当我尝试运行时出现“'M:Module'的未定义方法'helper'”错误c=M::C.new("world")c.work但直接从另一个类调用M::helper("world")工作正常。类不能调用在定义它们的同一模块中定义的模块函数吗？除了将类移出模块外，还有其他解决方法吗？最佳答案为了调用M::helper，你需要将它定义为defself.helper;结束为了进行比较，请查看以下修改后的代码段中的helper和helper2moduleMclassC
ruby - 如何更快地解决 project euler #21？ - 2
原始问题Letd(n)bedefinedasthesumofproperdivisorsofn(numberslessthannwhichdivideevenlyinton).Ifd(a)=bandd(b)=a,whereab,thenaandbareanamicablepairandeachofaandbarecalledamicablenumbers.Forexample,theproperdivisorsof220are1,2,4,5,10,11,20,22,44,55and110;therefored(220)=284.Theproperdivisorsof284are1,2,
ruby - 将运算符传递给函数？ - 2
也许这听起来很荒谬，但我想知道这对Ruby是否可行？基本上我有一个功能...defadda,bc=a+breturncend我希望能够将“+”或其他运算符(例如“-”)传递给函数，这样它就类似于...defsuma,b,operatorc=aoperatorbreturncend这可能吗？最佳答案两种可能性:以方法/算子名作为符号:defsuma,b,operatora.send(operator,b)endsum42,23,:+或者更通用的解决方案:采取一个block:defsuma,byielda,bendsum42,23,

函数与导数大题：2018年理数全国卷C题21

2018年理数全国卷C题21

有关函数与导数大题：2018年理数全国卷C题21的更多相关文章

随机推荐