矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
2. 矩阵分解——单阵谱分解
2. 矩阵分解——正规分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规谱分解
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵函数——常见解析函数
3. 矩阵函数——谱公式,幂0与泰勒计算矩阵函数
3. 矩阵函数——矩阵函数求导
4. 矩阵运算——观察法求矩阵特征值特征向量
4. 矩阵运算——张量积
4. 矩阵运算——矩阵拉直
4.矩阵运算——广义逆——加号逆定义性质与特殊矩阵的加号逆
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆的计算
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
5. 线性空间与线性变换——线性空间
5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵
矩阵论准备知识，很多内容都是线性代数的扩展
设 A、B为n阶方阵，如果存在可逆阵P，使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B ，则称A与B相似，记为 A ∼ B A\sim B A∼B
所以，方阵之间的相似关系是一种等价关系
若A与B相似，则有
∣
x
I
−
A
∣
=
∣
x
I
−
B
∣
\begin{aligned} |xI-A|=|xI-B| \end{aligned}
∣xI−A∣=∣xI−B∣
即A与B的特征根公式相同，其中A与B都是n阶方阵
可设
P
−
1
A
P
=
B
P^{-1}AP = B
P−1AP=B ，则有
∣
x
I
−
B
∣
=
∣
x
I
−
P
−
1
A
P
∣
=
∣
P
−
1
(
x
I
−
A
)
P
∣
=
行列式计算
∣
x
I
−
A
∣
\begin{aligned} \mid xI-B\mid &=\mid xI-P^{-1}AP\mid=\mid P^{-1}(xI-A)P\mid \xlongequal{行列式计算}\mid xI-A\mid \end{aligned}
∣xI−B∣=∣xI−P−1AP∣=∣P−1(xI−A)P∣行列式计算∣xI−A∣
由相似，可将A与B矩阵表示为
A
∼
B
A\sim B
A∼B 或者
A
P
=
P
B
AP=PB
AP=PB ，其中P为可逆矩阵
n阶方阵 A n × n A_{n\times n} An×n 的特征值为 λ ( A ) = { λ 1 , λ 2 , . . . , λ n } \lambda(A)=\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\} λ(A)={λ1,λ2,...,λn} 可包含重复特征值
eg
A
=
(
1
1
1
1
)
,
λ
(
A
)
=
{
2
,
0
}
A
=
(
2
1
0
3
)
,
λ
(
A
)
=
{
2
,
3
}
A
=
(
2
1
0
2
)
,
λ
(
A
)
=
{
2
,
2
}
\begin{aligned} &A=\left ( \begin{matrix} 1\quad 1\\ 1\quad 1 \end{matrix} \right),\lambda(A)=\{2,0\}\\\\ &A=\left ( \begin{matrix} 2\quad 1\\ 0\quad 3 \end{matrix} \right),\lambda(A)=\{2,3\}\\\\ &A=\left ( \begin{matrix} 2\quad 1\\ 0\quad 2 \end{matrix} \right),\lambda(A)=\{2,2\} \end{aligned}
A=(1111),λ(A)={2,0}A=(2103),λ(A)={2,3}A=(2102),λ(A)={2,2}
进而，特征多项式 ∣ λ I − A ∣ \mid \lambda I-A \mid ∣λI−A∣ 必可分解为 ∣ ( λ − λ 1 ) ( λ − λ 2 ) . . . ( λ − λ n ) ∣ \mid (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)...(\lambda-\lambda_n)\mid ∣(λ−λ1)(λ−λ2)...(λ−λn)∣
若 A ∼ B A\sim B A∼B ，则特征多项式相同，进而其分解式相等，得出结论，A与B的特征值相同，即 λ ( A ) = λ ( B ) \lambda(A)=\lambda(B) λ(A)=λ(B)
总结：
相似 ⇔ 特征多项式相同 ⇒ 特征值相等 相似 \Leftrightarrow 特征多项式相同\Rightarrow 特征值相等 相似⇔特征多项式相同⇒特征值相等
特征值相等 ⇒ + 实对称矩阵 相似 特征值相等\xRightarrow{+实对称矩阵} 相似 特征值相等+实对称矩阵相似
特征值是相似变化下的不变量
若 P − 1 A P = Λ = ( λ 1 ⋱ λ n ) P^{-1}AP=\Lambda=\left(\begin{matrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{matrix}\right) P−1AP=Λ= λ1⋱λn ，则 P P P 中的 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 都是A的特征向量，且 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1,X2,⋯,Xn 都是A的特征向量，且 X 1 , ⋯ , X n X_1,\cdots,X_n X1,⋯,Xn 无关
设问：若 A = A n × p , B = B p × n ， A=A_{n\times p},B=B_{p\times n}， A=An×p,B=Bp×n，且 p ≤ n p\le n p≤n ，则 ( A ⋅ B ) (A\cdot B) (A⋅B) 为 n 阶方阵， ( B ⋅ A ) (B\cdot A) (B⋅A) 为 p 阶方阵，求其特征值？
∣ λ I n − A B ∣ = λ n − p ∣ λ I p − B A ∣ \vert \lambda I_n-AB \vert= \lambda^{n-p}\vert \lambda I_p-BA \vert ∣λIn−AB∣=λn−p∣λIp−BA∣
可见 A B AB AB 与 B A BA BA 两个方阵特征值基本相等
若 A = A n × p , B = B p × n A=A_{n\times p},B=B_{p\times n} A=An×p,B=Bp×n ，且 p ≤ n p\le n p≤n ，则 A ⋅ B A\cdot B A⋅B 为 n 阶方阵， B ⋅ A B\cdot A B⋅A 为 p 阶方阵
若 B A BA BA 的特征根 λ ( B A ) = { λ 1 , λ 2 , . . . , λ p } \lambda(BA)=\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_p\} λ(BA)={λ1,λ2,...,λp} ，则 A B AB AB 的特征根 λ ( A B ) = { λ 1 , λ 2 . . . , λ p , 0 , . . . , 0 } ( 含 n − p 个零根 ) \lambda(AB)=\{\lambda_1,\lambda_2...,\lambda_p,0,...,0\}(含n-p个零根) λ(AB)={λ1,λ2...,λp,0,...,0}(含n−p个零根) ，可见 A B AB AB 与 B A BA BA 只差 n − p n-p n−p 个零根，其余根相同
即 A B AB AB 与 B A BA BA 必有相同非零根
由于 AB与BA 只相差 n − p n-p n−p 个零根，所以 t r ( A B ) = t r ( B A ) tr(AB) = tr(BA) tr(AB)=tr(BA)
证： t r ( A B ) = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ p + 0 + ⋯ + 0 = t r ( B A ) tr(AB)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_p+0+\cdots+0=tr(BA) tr(AB)=λ1+λ2+⋯+λp+0+⋯+0=tr(BA)
∣ I n ± A B ∣ = ∣ I p ± B A ∣ \mid I_n \pm AB\mid = \mid I_p\pm BA\mid ∣In±AB∣=∣Ip±BA∣ ，当 λ = 1 , A 取 − A \lambda = 1,A取-A λ=1,A取−A 时，分别可证
若 n>p，则 ∣ A B ∣ = 0 \mid AB \mid=0 ∣AB∣=0
证明：
A B AB AB 为 n n n 阶矩阵，由于 r ( A B ) ≤ r ( A ) ≤ p < n ( 矩阵的秩越乘越小 ) r(AB)\le r(A)\le p<n(矩阵的秩越乘越小) r(AB)≤r(A)≤p<n(矩阵的秩越乘越小) ，故 ∣ A B ∣ = 0 \mid AB\mid=0 ∣AB∣=0
或者考虑 A B AB AB 为 n n n 阶方阵，必有 n − p n-p n−p 个零特征值， ∣ A B ∣ = ∏ λ i = 0 \mid AB \mid = \prod\lambda_i = 0 ∣AB∣=∏λi=0
例3：
P
=
(
I
A
0
I
)
P = \left(\begin{matrix}I&A \\0&I\end{matrix}\right)
P=(I0AI) ，求证
P
−
1
=
(
I
−
A
0
I
)
P^{-1}=\left(\begin{matrix}I&-A\\0& I\end{matrix}\right)
P−1=(I0−AI) （其实也就是二阶矩阵求逆）
A
=
(
B
C
D
E
)
,
则
A
−
1
=
1
∣
A
∣
(
E
−
C
−
D
B
)
\begin{aligned} A=\left( \begin{matrix} B\quad C\\ D\quad E \end{matrix} \right),则A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}\left( \begin{matrix} E\quad -C\\ -D\quad B \end{matrix} \right) \end{aligned}
A=(BCDE),则A−1=∣A∣1(E−C−DB)
A = ( a 1 b 1 a 1 b 2 ⋯ a 1 b n a 2 b 1 a 2 b 2 ⋯ a 2 b n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n b 1 a n b 2 ⋯ a n b n ) n × n = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) ( b 1 b 2 ⋯ b n ) = Δ α β T 其中 α = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) , β = ( b 1 b 2 ⋮ b n ) \begin{aligned} A&=\left( \begin{matrix} a_1b_1\quad &a_1b_2\quad &\cdots\quad &a_1b_n\\ a_2b_1\quad &a_2b_2\quad &\cdots\quad &a_2b_n\\ \vdots\quad &\vdots\quad &\ddots\quad &\vdots\\ a_nb_1\quad &a_nb_2\quad &\cdots\quad &a_nb_n \end{matrix} \right)_{n\times n}=\left( \begin{matrix} a_1\\a_2\\\vdots \\a_n \end{matrix} \right)\left( b_1\quad b_2\quad \cdots \quad b_n \right)\overset{\Delta}{=}\alpha \beta^{T}\\\\ &其中 \alpha=\left( \begin{matrix} a_1\\a_2\\\vdots \\a_n \end{matrix} \right),\beta=\left( \begin{matrix} b_1\\b_2\\\vdots \\b_n \end{matrix} \right) \end{aligned} A= a1b1a2b1⋮anb1a1b2a2b2⋮anb2⋯⋯⋱⋯a1bna2bn⋮anbn n×n= a1a2⋮an (b1b2⋯bn)=ΔαβT其中α= a1a2⋮an ,β= b1b2⋮bn
∣ λ I n − A ∣ = ∣ λ I n − α n × 1 β 1 × n T ∣ = 换位公式 : ∣ λ n − ( A B ) n ∣ = λ n − p ∣ λ I p − ( B A ) p ∣ λ n − 1 ∣ λ I 1 − β 1 × n T α n × 1 I 1 ∣ = λ n − 1 ( λ I − t r ( A ) ) , 其中 t r ( A ) = ∑ i = 1 n a i i b i i \begin{aligned} &\mid \lambda I_n-A\mid = \mid \lambda I_n-\alpha_{n\times 1}\beta_{1\times n}^T\mid\xlongequal{换位公式:\vert\lambda_n-(AB)_n \vert=\lambda^{n-p}\vert \lambda I_p-(BA)_p\vert}\lambda^{n-1}\mid\lambda I_1-\beta_{1\times n}^T\alpha_{n\times 1}I_1\mid\\ &=\lambda^{n-1}(\lambda I-tr(A)),其中 tr(A)=\sum\limits_{i=1}\limits^{n}a_{ii}b_{ii} \end{aligned} ∣λIn−A∣=∣λIn−αn×1β1×nT∣换位公式:∣λn−(AB)n∣=λn−p∣λIp−(BA)p∣λn−1∣λI1−β1×nTαn×1I1∣=λn−1(λI−tr(A)),其中tr(A)=i=1∑naiibii
若n阶方阵，秩为1，r(A)=1，则全体特征值为 λ ( A ) = { t r ( A ) , 0 , . . . , 0 } \lambda(A)=\{tr(A),0,...,0\} λ(A)={tr(A),0,...,0} ，其中 t r ( A ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n = β T α tr(A)=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=\beta^T\alpha tr(A)=a1b1+a2b2+...+anbn=βTα
证明：
由换位公式可知， α n × 1 β 1 × n T \alpha_{n\times 1}\beta_{1\times n}^T αn×1β1×nT 与 β 1 × n T α n × 1 \beta_{1\times n}^T\alpha_{n\times 1} β1×nTαn×1 相差 n-1 个零根，即有一个相等的非零特征根，而 β 1 × n T α n × 1 \beta_{1\times n}^T\alpha_{n\times 1} β1×nTαn×1 为1阶矩阵，所以 λ 1 = β 1 × n T α n × 1 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n = t r ( A ) \lambda_1=\beta_{1\times n}^T\alpha_{n\times 1}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=tr(A) λ1=β1×nTαn×1=a1b1+a2b2+...+anbn=tr(A)
A = α β T A=\alpha \beta^T A=αβT 的列向量都是 λ 1 = t r ( A ) \lambda_1=tr(A) λ1=tr(A) 的特征向量
证明：
A
α
=
(
α
β
)
α
=
λ
1
α
\begin{aligned} A\alpha = (\alpha \beta)\alpha=\lambda_1 \alpha \end{aligned}
Aα=(αβ)α=λ1α
A 为秩 1 矩阵， λ ( A ) = { t r ( A ) , 0 , 0 } = { − 2 , 0 , 0 } 可知 ∣ λ I − A ∣ = x 2 ( x + 2 ) , 其中 λ 1 = − 2 , 可取 ( 1 1 2 ) 为 A 的特向， A ( 1 1 2 ) = − 2 ( 1 1 2 ) \begin{aligned} &A为秩1矩阵，\lambda(A)=\{tr(A),0,0\}=\{-2,0,0\}\\ &可知 \vert \lambda I-A\vert=x^2(x+2),其中\lambda_1=-2,可取\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)为A的特向，A\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)=-2\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right) \end{aligned} A为秩1矩阵，λ(A)={tr(A),0,0}={−2,0,0}可知∣λI−A∣=x2(x+2),其中λ1=−2,可取 112 为A的特向，A 112 =−2 112
A 为秩 1 矩阵，全体特根 λ ( A ) = { t r ( A ) , 0 , 0 } = { 9 , 0 , 0 } , 可知 ∣ λ I − A ∣ = λ 2 ( λ − 9 ) λ 1 = 9 , 可知 A 的列向量 ( 1 1 − 1 ) 为一个特向， A ( 1 1 − 1 ) = 9 ( 1 1 − 1 ) \begin{aligned} &A为秩1矩阵，全体特根\lambda(A)=\{tr(A),0,0\}=\{9,0,0\},可知 \vert \lambda I-A\vert=\lambda^2(\lambda-9)\\ &\lambda_1=9,可知A的列向量\left(\begin{matrix}1\\1\\-1\end{matrix}\right)为一个特向，A\left(\begin{matrix}1\\1\\-1\end{matrix}\right)=9\left(\begin{matrix}1\\1\\-1\end{matrix}\right) \end{aligned} A为秩1矩阵，全体特根λ(A)={tr(A),0,0}={9,0,0},可知∣λI−A∣=λ2(λ−9)λ1=9,可知A的列向量 11−1 为一个特向，A 11−1 =9 11−1
A + c I A+cI A+cI 称为A的平移矩阵
若 λ ( A ) = { λ 1 + c , λ 2 + c , . . . , λ n + c } \lambda(A)=\{\lambda_1+c,\lambda_2+c,...,\lambda_n+c\} λ(A)={λ1+c,λ2+c,...,λn+c}
A + c I A+cI A+cI 与 A A A 有相同的特征向量
证明：
令
A
的
n
个特征向量
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
，有
A
x
1
=
λ
1
x
1
,
A
x
1
=
λ
2
x
2
,
.
.
.
A
x
n
=
λ
1
x
n
⇔
{
(
A
+
c
I
)
x
1
=
λ
1
x
1
+
c
x
1
=
(
λ
1
+
c
)
x
1
(
A
+
c
I
)
x
2
=
λ
2
x
2
+
c
x
2
=
(
λ
2
+
c
)
x
2
⋯
(
A
+
c
I
)
x
n
=
λ
n
x
n
+
c
x
n
=
(
λ
n
+
c
)
x
n
故
λ
(
A
)
=
{
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
}
\begin{aligned} &令A的n个特征向量x_1,x_2,...,x_n，有\\\\ &Ax_1=\lambda_1 x_1,Ax_1=\lambda_2 x_2,...Ax_n=\lambda_1 x_n\\\\ \Leftrightarrow & \left\{ \begin{aligned} (A+cI)x_1 = \lambda_1x_1+cx_1=(\lambda_1+c)x_1\\ (A+cI)x_2 = \lambda_2x_2+cx_2=(\lambda_2+c)x_2\\ \cdots\\ (A+cI)x_n = \lambda_nx_n+cx_n=(\lambda_n+c)x_n \end{aligned} \right.\\\\ 故&\lambda(A)=\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\} \end{aligned}
⇔故令A的n个特征向量x1,x2,...,xn，有Ax1=λ1x1,Ax1=λ2x2,...Axn=λ1xn⎩
⎨
⎧(A+cI)x1=λ1x1+cx1=(λ1+c)x1(A+cI)x2=λ2x2+cx2=(λ2+c)x2⋯(A+cI)xn=λnxn+cxn=(λn+c)xnλ(A)={λ1,λ2,...,λn}
( 1 ) A − E = ( 0 1 0 0 1 0 0 1 0 ) 由秩 1 公式 , λ ( A − E ) = { t r ( A ) , 0 , 0 } , 由平移公式 λ ( A ) = { t r ( A − E ) + 1 , 1 , 1 } = { 2 , 1 , 1 } 且 ( A − E ) 与 A 的特征向量相等， A − E 的列向量 ( 1 1 1 ) ( 2 ) A − E = ( 3 6 0 − 3 − 6 0 − 3 − 6 0 ) , λ ( A − E ) = { − 3 , 0 , 0 } , 故 λ ( A ) = { − 2 , 1 , 1 } , A 的特征向量为 ( 3 − 3 6 ) \begin{aligned} &(1)A-E=\left( \begin{matrix} 0\quad 1\quad 0\\ 0\quad 1\quad 0\\ 0\quad 1\quad 0 \end{matrix} \right)\\ &由秩1公式,\lambda(A-E)=\{tr(A),0,0\},\\ &由平移公式 \lambda(A)=\{tr(A-E)+1,1,1\}=\{2,1,1\}\\ &且(A-E)与A的特征向量相等，A-E的列向量\left( \begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix} \right)\\ &(2)A-E=\left( \begin{matrix} 3& 6 & 0\\ -3& -6& 0\\ -3& -6& 0\\ \end{matrix} \right),\lambda(A-E)=\{-3,0,0\}, \\&故\lambda(A)=\{-2,1,1\},A的特征向量为\left( \begin{matrix} 3\\-3\\6 \end{matrix} \right) \end{aligned} (1)A−E= 010010010 由秩1公式,λ(A−E)={tr(A),0,0},由平移公式λ(A)={tr(A−E)+1,1,1}={2,1,1}且(A−E)与A的特征向量相等，A−E的列向量 111 (2)A−E= 3−3−36−6−6000 ,λ(A−E)={−3,0,0},故λ(A)={−2,1,1},A的特征向量为 3−36
A = ( − 1 − 2 6 − 1 0 3 − 1 − 1 4 ) ， A − I = ( − 2 − 2 6 − 1 − 1 3 − 1 − 1 3 ) , λ ( A − I ) = { 0 , 0 , 0 } , 则 λ ( A ) = λ ( A − I ) + 1 = { 1 , 1 , 1 } \begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} -1& -2& 6\\ -1& 0& 3\\ -1& -1& 4 \end{matrix} \right)，A-I=\left( \begin{matrix} -2& -2& 6\\ -1& -1& 3\\ -1& -1& 3 \end{matrix} \right),\lambda(A-I)=\{0,0,0\}\\ &,则\lambda(A)=\lambda(A-I)+1=\{1,1,1\} \end{aligned} A= −1−1−1−20−1634 ，A−I= −2−1−1−2−1−1633 ,λ(A−I)={0,0,0},则λ(A)=λ(A−I)+1={1,1,1}
A = ( 7 4 − 1 4 7 − 1 − 4 − 4 4 ) , A − 3 I = ( 4 4 − 1 4 4 − 1 − 4 − 4 1 ) , λ ( A − 3 I ) = { 9 , 0 , 0 } λ ( A ) = λ ( A − 3 I ) + 3 = { 12 , 3 , 3 } \begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} 7& 4& -1\\ 4& 7& -1\\ -4& -4& 4 \end{matrix} \right),A-3I=\left( \begin{matrix} 4& 4& -1\\ 4& 4& -1\\ -4& -4& 1 \end{matrix} \right),\lambda(A-3I)=\{9,0,0\}\\ \\&\lambda(A)=\lambda(A-3I)+3=\{12,3,3\} \end{aligned} A= 74−447−4−1−14 ,A−3I= 44−444−4−1−11 ,λ(A−3I)={9,0,0}λ(A)=λ(A−3I)+3={12,3,3}
若 λ ( A ) = { λ 1 , . . . , λ n } \lambda(A)=\{\lambda_1,...,\lambda_n\} λ(A)={λ1,...,λn} ，则 λ ( k A ) = { k λ 1 , k λ 2 , . . . , k λ n , } ( k ≠ 0 ) \lambda(kA)=\{k\lambda_1,k\lambda_2,...,k\lambda_n,\}(k\neq 0) λ(kA)={kλ1,kλ2,...,kλn,}(k=0)
k A kA kA 与 A A A 有相同的特征向量
C : { z = a + b i ∣ a , b ∈ R } C:\{z=a+bi\mid a,b\in R\} C:{z=a+bi∣a,b∈R} ，其中 i 2 = − 1 , − 1 = i i^2=-1,\sqrt{-1}=i i2=−1,−1=i
若 z = a + b i , 则 z ‾ = a + b i ‾ = a − b i 若z=a+bi,则\overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi 若z=a+bi,则z=a+bi=a−bi
n n n 维实列向量, X = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , x i ∈ R X=\left(\begin{matrix}x_1\\ x_2 \\ \vdots \\x_n\end{matrix}\right),x_i\in R X= x1x2⋮xn ,xi∈R ， n n n 维实复列向量 X = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , x i ∈ C X=\left(\begin{matrix}x_1\\ x_2 \\ \vdots \\x_n\end{matrix}\right),x_i\in C X= x1x2⋮xn ,xi∈C ，列向量可表示为转置形式 X = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T , X ∈ C n X=\left(x_1,x_2,...,x_n\right)^T,X\in C^n X=(x1,x2,...,xn)T,X∈Cn ，实矩阵 R m × n = { A = ( a i j ) ∣ a i , j ∈ R , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n } R_{m\times n} = \{A=(a_{ij})\mid a_{i,j}\in R,1\le i\le m,1\le j\le n\} Rm×n={A=(aij)∣ai,j∈R,1≤i≤m,1≤j≤n} ，复矩阵 C m × n = { A = ( a i j ) ∣ a i j ∈ C , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n } C^{m\times n}=\{A=(a_{ij})\mid a_{ij}\in C,1\le i\le m,1\le j\le n\} Cm×n={A=(aij)∣aij∈C,1≤i≤m,1≤j≤n} ，且 R m × n ∈ C m × n R_{m\times n}\in C^{m\times n} Rm×n∈Cm×n ， A m × n = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ∈ C m × n A_{m\times n}=\left( \begin{matrix} a_{11}\quad &a_{12}&\cdots\quad &a_{1n}\\ a_{21}\quad &a_{22}&\cdots\quad &a_{2n}\\ \vdots\quad &\vdots &\ddots\quad &\vdots\\ a_{m1}\quad &a_{m2}&\cdots \quad &a_{mn} \end{matrix} \right)\in C^{m\times n} Am×n= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn ∈Cm×n ，可表示为 A = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) A=(α1,α2,⋯,αn) ，且 α i ∈ C m \alpha_i\in C^{m} αi∈Cm
由 z z ‾ = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 zz=(a+bi)(a−bi)=a2+b2
模公式 z z ‾ = z ‾ z = ∣ z ∣ 2 = a 2 + b 2 z\overline z=\overline zz=\mid z\mid^2=a^2+b^2 zz=zz=∣z∣2=a2+b2
A = ( a i j ) = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) A=(a_{ij})=\left( \begin{matrix} a_{11}&\cdots &a_{1n}\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n1}&\cdots &a_{nn}\\ \end{matrix} \right) A=(aij)= a11⋮an1⋯⋱⋯a1n⋮ann ， A A A 的共轭矩阵 A ‾ = ( a i j ‾ ) = ( a 11 ‾ ⋯ a 1 n ‾ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ‾ ⋯ a n n ‾ ) \overline{A} = (\overline{a_{ij}})=\left( \begin{matrix} \overline{a_{11}}&\cdots &\overline{a_{1n}}\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ \overline{a_{n1}}&\cdots &\overline{a_{nn}}\\ \end{matrix} \right) A=(aij)= a11⋮an1⋯⋱⋯a1n⋮ann
eg：
乘后共轭=共轭后乘 ： A ⋅ B ‾ = A ‾ ⋅ B ‾ \overline{A\cdot B}=\overline{A}\cdot \overline{B} A⋅B=A⋅B
共轭转置记为 Hermite 变换，即 A H = A ‾ T = A T ‾ A^H = \overline{A}^T=\overline{A^T} AH=AT=AT
A = ( a i j ) = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋯ ⋱ ⋯ a m 1 ⋯ a m n ) ∈ C m × n , A ‾ = ( a 11 ‾ ⋯ a 1 n ‾ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 ‾ ⋯ a m n ‾ ) ∈ C m × n X = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) ∈ C n , 则 X H = ( x 1 ‾ , x 2 ‾ , . . . , x n ‾ ) \begin{aligned} &A=(a_{ij})=\left( \begin{matrix} a_{11}&\cdots & a_{1n}\\ \cdots &\ddots & \cdots\\ a_{m1}&\cdots & a^{mn} \end{matrix} \right)\in C^{m\times n},\\ &\overline{A}=\left( \begin{matrix} \overline{a_{11}}&\cdots &\overline{a_{1n}}\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ \overline{a_{m1}}&\cdots &\overline{a_{mn}} \end{matrix} \right)\in C^{m\times n}\\ &X=\left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{matrix} \right)\in C^n,则X^H=(\overline{x_1},\overline{x_2},...,\overline{x_n}) \end{aligned} A=(aij)= a11⋯am1⋯⋱⋯a1n⋯amn ∈Cm×n,A= a11⋮am1⋯⋱⋯a1n⋮amn ∈Cm×nX= x1x2⋮xn ∈Cn,则XH=(x1,x2,...,xn)
共轭不会使矩阵变型，转置使矩阵变型 A ∈ C n × p ⇒ A H ∈ C p × n A\in C^{n\times p}\Rightarrow A^H\in C^{p\times n} A∈Cn×p⇒AH∈Cp×n
eg：
A
=
(
1
i
1
i
1
i
)
∈
C
3
×
2
,
则
A
H
=
(
1
−
i
1
−
i
1
−
i
)
T
=
(
1
1
1
−
i
−
i
−
i
)
∈
C
2
×
3
\begin{aligned} A=\left( \begin{matrix} 1\quad i\\ 1\quad i\\ 1\quad i \end{matrix} \right)\in C^{3\times2},则A^H=\left( \begin{matrix} 1\quad -i\\ 1\quad -i\\ 1\quad -i \end{matrix} \right)^T =\left( \begin{matrix} 1\quad 1\quad 1\\ -i\quad -i\quad -i \end{matrix} \right) \in C^{2\times 3} \end{aligned}
A=
1i1i1i
∈C3×2,则AH=
1−i1−i1−i
T=(111−i−i−i)∈C2×3
| Hermite变换 | 转置 |
|---|---|
| ( A H ) H = A (A^H)^H=A (AH)H=A | ( A T ) T = A (A^T)^T=A (AT)T=A |
| ( k A ) H = k ‾ A H (kA)^H=\overline{k}A^H (kA)H=kAH | ( k A ) T = k A T (kA)^T=kA^T (kA)T=kAT |
| ( A + B ) H = A H + B H (A+B)^H=A^H+B^H (A+B)H=AH+BH | ( A + B ) T = A T + B T (A+B)^T=A^T+B^T (A+B)T=AT+BT |
| ( A B ) H = B H A H , ( A B C ) H = C H B H A H (AB)^H=B^HA^H,(ABC)^H=C^HB^HA^H (AB)H=BHAH,(ABC)H=CHBHAH | ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT |
实数阵的 Hermite 变换仍是其本身
| Hermite变换 | 转置 |
|---|---|
| A H = A A^H=A AH=A Hermite矩阵 | A T = A A^T=A AT=A ，对称阵 |
| A H = − A A^H=-A AH=−A 斜Hermite矩阵 | A T = − A A^T=-A AT=−A ，反对称阵 |
目前，Itembelongs_toCompany和has_manyItemVariants。我正在尝试使用嵌套的fields_for通过Item表单添加ItemVariant字段，但是使用:item_variants不显示该表单。只有当我使用单数时才会显示。我检查了我的关联，它们似乎是正确的，这可能与嵌套在公司下的项目有关，还是我遗漏了其他东西？提前致谢。注意:下面的代码片段中省略了不相关的代码。编辑:不知道这是否相关，但我正在使用CanCan进行身份验证。routes.rbresources:companiesdoresources:itemsenditem.rbclassItemi
点向量坐标矩阵的几何意义介绍旋转矩阵的几何含义之前，先介绍一下点向量坐标矩阵的几何含义点：在一维空间下就是一个标量，如同一条直线上，以任意某一个位置为0点，以一定的尺度间隔为1，2，3...,相反方向为-1，-2，-3...；如此就形成了一维坐标系，这时候任何一个点都可以用一个数值表示，如点p1=5，即即从原点出发沿着x轴正方向移动5个尺度；点p2=-3，负方向移动3个尺度； 在一维坐标系上过原点做垂直于一维坐标系的直线，则形成了二维坐标系，此时描述一个点需要两个数值来表示点p3=（3，2），即从原点出发沿着x轴正方向移动3个尺度，在此基础上沿着y轴正方向移动两个尺度的位置就是点p3。
按照目前的情况，这个问题不适合我们的问答形式。我们希望答案得到事实、引用或专业知识的支持，但这个问题可能会引发辩论、争论、投票或扩展讨论。如果您觉得这个问题可以改进并可能重新打开，visitthehelpcenter指导。关闭9年前。我最近开始学习Ruby，这是我的第一门编程语言。我对语法感到满意，并且我已经完成了许多只教授相同基础知识的教程。我已经写了一些小程序(包括我自己的数组排序方法，在有人告诉我谷歌“冒泡排序”之前我认为它非常聪明)，但我觉得我需要尝试更大更难的东西来理解更多关于Ruby.关于如何执行此操作的任何想法？
所有题目均有五种语言实现。C实现目录、C++实现目录、Python实现目录、Java实现目录、JavaScript实现目录题目n行m列的矩阵，每个位置上有一个元素你可以上下左右行走，代价是前后两个位置元素值差的绝对值.另外，你最多可以使用一次传送阵(只能从一个数跳到另外一个相同的数)求从走上角走到右下角最少需要多少时间。输入描述：第一行两个整数n,m，分别代表矩阵的行和列。后面n行，每行m个整数，分别代表矩阵中的元素。输出描述：一个整数，表示最少需要多少时间。
一、习惯约定图片来自PSINS（高精度捷联惯导算法）PSINS工具箱入门与详解.pptx二、基本旋转矩阵绕x轴逆时钟旋转α\alphaα角度Rx(α)=[ 1000cosαsinα0−sinαcosα]R_x(\alpha)=\begin{bmatrix}\1&0&0\\0&\cos\alpha&\sin\alpha\\0&-\sin\alpha&\cos\alpha\end{bmatrix}Rx(α)= 1000cosα−sinα0sinαcosα绕y轴逆时钟旋转α\alphaα角度Ry(α)=[ cosα0−sinα010sinα0cosα]R_y(\alpha
欧拉角、旋转矩阵及四元数1.简介2.欧拉角2.1欧拉角定义2.2右手系和左手系2.3转换流程3.旋转矩阵4.四元数4.1四元数与欧拉角和旋转矩阵之间等效变换4.2测试Matlab代码5.总结1.简介常用姿态参数表达方式包括方向余弦矩阵、欧拉轴/角参数、欧拉角、四元数以及罗德里格参数等。高分辨率光学遥感卫星主要采用欧拉角与四元数对姿态参数进行描述。这里着重讲解欧拉角、旋转矩阵和四元数。2.欧拉角2.1欧拉角定义欧拉角是表征刚体旋转的一种方法之一，由莱昂哈德·欧拉引入的三个角度，用于描述刚体相对于固定坐标系的方向。在摄影测量、空间科学或其它技术领域，一般用一组（三个）欧拉角描述两个空间坐标之间的旋
这可行，但看起来有点丑:s=:shops.to_s.pluralize.to_sym#=>:shops有没有更好的方法来复数化Symbol？ 最佳答案 您可以复数表示实际文本的String。符号有点抽象。所以，根据定义，不。但是，也许您可以打开Symbol类定义并添加:classSymboldefpluralizeto_s.pluralize.to_symendend然后，您可以调用::shop.pluralize#=>:shops 关于ruby-on-rails-如何复数Ruby(
我理解RubystdlibMatrix是不可修改的，也就是说，例如。m=Matrix.zero(3,4)不会写m[0,1]=7但我非常想做...我可以用笨拙的编程来做，比如defmodify_value_in_a_matrix(matrix,row,col,newval)ary=(0...m.row_size).map{|i|m.rowi}.map(&:to_a)ary[row][col]=newvalMatrix[*ary]end...或者作弊，比如Matrix.send:[]=,0,1,7但我想知道，这一定是人们一直遇到的问题。有没有一些标准的、习惯的方法可以做到这一点，而不必使用
假设我有一个id数组(从客户端接收):myArray=[1,5,19,27]我想返回该列表中(次要)id的所有项目。在SQL中这将是:SELECT*FROMItemsWHEREidIN(1,5,19,27)我知道我可以:Item.where(id:[1,5,9,27]),然而，将其添加到的查询使用准备语句语法的时间越长Item.where('myAttrib=?ANDmyOtherAttrib?ANDmyThirdAttrib=?',myVal[0],myVa[1],myVal[2])考虑到这一点，我想要的是:Item.where('idIN?',myArray)但是，这会产生语法错误
快速求三阶矩阵的逆矩阵前言一般情况下，我们求解伴随矩阵是要注意符号问题和位置问题的（如下所示）A−1=1[ ][−[ ]−[ ]−[ ] −[ ]]=A−1=1[ ][ M11−[M12] M13−[M21] M22−[M23] M31−[M32] M33]⊤\begin{aligned}&A^{-1}=\frac{1}{[\\]}\left[\begin{array}{cccccc}&-[\\]&\\-[\\]&&-[\\]\\\\&-[\\]&\\\end{array}\right]=\\\\&A^{-1}=\frac{1}{[\\]}\left[\b
