def zero_pad(X,pad):
    """
    把数据集X的图像边界全部使用0来扩充pad个宽度和高度。
    
    参数：
        X - 图像数据集，维度为（样本数，图像高度，图像宽度，图像通道数）
        pad - 整数，每个图像在垂直和水平维度上的填充量
    返回：
        X_paded - 扩充后的图像数据集，维度为（样本数，图像高度 + 2*pad，图像宽度 + 2*pad，图像通道数）
    
    """
    
    X_paded = np.pad(X,(
                        (0,0),       #样本数，不填充
                        (pad,pad),   #图像高度,你可以视为上面填充x个，下面填充y个(x,y)
                        (pad,pad),   #图像宽度,你可以视为左边填充x个，右边填充y个(x,y)
                        (0,0)),      #通道数，不填充
                        'constant', constant_values=0)      #连续一样的值填充
    
    return X_paded
                            

我们来测试一下：

np.random.seed(1)
x = np.random.randn(4, 3, 3, 2)
x_pad = zero_pad(x, 3)
print ("x.shape =\n", x.shape)
print ("x_pad.shape =\n", x_pad.shape)
print ("x[1,1] =\n", x[1, 1])
print ("x_pad[1,1] =\n", x_pad[1, 1])

assert type(x_pad) == np.ndarray, "输出必须是numpy数组"
assert x_pad.shape == (4, 9, 9, 2), f"Wrong shape: {x_pad.shape} != (4, 9, 9, 2)"
print(x_pad[0, 0:2,:, 0]) # 查看第0行到第1行的数据
assert np.allclose(x_pad[0, 0:2,:, 0], [[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]], 1e-15), "Rows are not padded with zeros"
assert np.allclose(x_pad[0, :, 7:9, 1].transpose(), [[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]], 1e-15), "Columns are not padded with zeros"
assert np.allclose(x_pad[:, 3:6, 3:6, :], x, 1e-15), "Internal values are different"

#绘图
fig, axarr = plt.subplots(1, 2)
axarr[0].set_title('x')
axarr[0].imshow(x[0, :, :, 0])
axarr[1].set_title('x_pad')
axarr[1].imshow(x_pad[0, :, :, 0])

3.2 - Single Step of Convolution

在这里，我们要实现第一步卷积，我们要使用一个过滤器来卷积输入的数据。先来看看下面的这个gif：

在计算机视觉应用中，左侧矩阵中的每个值都对应一个像素值，我们通过将其值与原始矩阵元素相乘，然后对它们进行求和来将3x3滤波器与图像进行卷积。我们需要实现一个函数，可以将一个3x3滤波器与单独的切片块进行卷积并输出一个实数。现在我们开始实现conv_single_step()

def conv_single_step(a_slice_prev, W, b):
    """
    在前一层的激活输出的一个片段上应用一个由参数W定义的过滤器。
    这里切片大小和过滤器大小相同
    
    参数：
        a_slice_prev - 输入数据的一个片段，维度为（过滤器大小，过滤器大小，上一通道数）
        W - 权重参数，包含在了一个矩阵中，维度为（过滤器大小，过滤器大小，上一通道数）
        b - 偏置参数，包含在了一个矩阵中，维度为（1,1,1）
        
    返回：
        Z - 在输入数据的片X上卷积滑动窗口（w，b）的结果。
    """
    s = np.multiply(a_slice_prev,W)
    # Sum over all entries of the volume s.
    Z = np.sum(s)
    # Add bias b to Z. Cast b to a float() so that Z results in a scalar value.
    b = np.squeeze(b)
    Z = Z + b

    return Z

我们来测试一下：

np.random.seed(1)
a_slice_prev = np.random.randn(4, 4, 3)
W = np.random.randn(4, 4, 3)
b = np.random.randn(1, 1, 1)

Z = conv_single_step(a_slice_prev, W, b)
print("Z =", Z)

assert (type(Z) == np.float64 or type(Z) == np.float32), "You must cast the output to float"

Z = -6.999089450680221

3.3 - Convolutional Neural Networks - Forward Pass

在前向传播的过程中，我们将使用多种过滤器对输入的数据进行卷积操作，每个过滤器会产生一个2D的矩阵，我们可以把它们堆叠起来，于是这些2D的卷积矩阵就变成了高维的矩阵。我们可以看一下下面的图：

如果我想要自定义切片，我们可以这么做：先定义要切片的位置，vert_start、vert_end、 horiz_start、 horiz_end，它们的位置我们看一下下面的图就明白了。

 我们还是说一下输出的维度的计算公式吧~

 这里我们使用for循环

def conv_forward(A_prev, W, b, hparameters):
    """
    实现卷积函数的前向传播
    
    参数：
        A_prev - 上一层的激活输出矩阵，维度为(m, n_H_prev, n_W_prev, n_C_prev)，（样本数量，上一层图像的高度，上一层图像的宽度，上一层过滤器数量）
        W - 权重矩阵，维度为(f, f, n_C_prev, n_C)，（过滤器大小，过滤器大小，上一层的过滤器数量，这一层的过滤器数量）
        b - 偏置矩阵，维度为(1, 1, 1, n_C)，（1,1,1,这一层的过滤器数量）
        hparameters - 包含了"stride"与 "pad"的超参数字典。
    
    返回：
        Z - 卷积输出，维度为(m, n_H, n_W, n_C)，（样本数，图像的高度，图像的宽度，过滤器数量）
        cache - 缓存了一些反向传播函数conv_backward()需要的一些数据
    """
    
    #获取来自上一层数据的基本信息
    (m , n_H_prev , n_W_prev , n_C_prev) = A_prev.shape
    
    #获取权重矩阵的基本信息
    ( f , f ,n_C_prev , n_C ) = W.shape
    
    #获取超参数hparameters的值
    stride = hparameters["stride"]
    pad = hparameters["pad"]
    
    #计算卷积后的图像的宽度高度，参考上面的公式，使用int()来进行板除
    n_H = int(( n_H_prev - f + 2 * pad )/ stride) + 1
    n_W = int(( n_W_prev - f + 2 * pad )/ stride) + 1
    
    #使用0来初始化卷积输出Z
    Z = np.zeros((m,n_H,n_W,n_C))
    
    #通过A_prev创建填充过了的A_prev_pad
    A_prev_pad = zero_pad(A_prev,pad)
    
    for i in range(m):                              #遍历样本
        a_prev_pad = A_prev_pad[i]                  #选择第i个样本的扩充后的激活矩阵
        for h in range(n_H):                        #在输出的垂直轴上循环
            for w in range(n_W):                    #在输出的水平轴上循环
                for c in range(n_C):                #循环遍历输出的通道
                    #定位当前的切片位置
                    vert_start = h * stride         #竖向，开始的位置
                    vert_end = vert_start + f       #竖向，结束的位置
                    horiz_start = w * stride        #横向，开始的位置
                    horiz_end = horiz_start + f     #横向，结束的位置
                    #切片位置定位好了我们就把它取出来,需要注意的是我们是“穿透”取出来的，
                    #自行脑补一下吸管插入一层层的橡皮泥就明白了
                    a_slice_prev = a_prev_pad[vert_start:vert_end,horiz_start:horiz_end,:]
                    #执行单步卷积
                    Z[i,h,w,c] = conv_single_step(a_slice_prev,W[: ,: ,: ,c],b[0,0,0,c])
      
    #数据处理完毕，验证数据格式是否正确
    assert(Z.shape == (m , n_H , n_W , n_C ))
    
    #存储一些缓存值，以便于反向传播使用
    cache = (A_prev,W,b,hparameters)
    
    return (Z , cache)

我们来测试一下;

np.random.seed(1)
A_prev = np.random.randn(2, 5, 5, 3)
hparameters = {"stride" : 1, "f": 3}

A, cache = pool_forward(A_prev, hparameters, mode = "max")
print("mode = max")
print("A.shape = " + str(A.shape))
print("A[1, 1] =\n", A[1, 1])
print()
A, cache = pool_forward(A_prev, hparameters, mode = "average")
print("mode = average")
print("A.shape = " + str(A.shape))
print("A[1, 1] =\n", A[1, 1])

Z's mean =
 0.5511276474566768
Z[0,2,1] =
 [-2.17796037  8.07171329 -0.5772704   3.36286738  4.48113645 -2.89198428
 10.99288867  3.03171932]
cache_conv[0][1][2][3] =
 [-1.1191154   1.9560789  -0.3264995  -1.34267579]

Finally, a CONV layer should also contain an activation, in which case you would add the following line of code:

# Convolve the window to get back one output neuron
Z[i, h, w, c] = ...
# Apply activation
A[i, h, w, c] = activation(Z[i, h, w, c])

You don't need to do it here, however.

4 - Pooling Layer

 池化层会减少输入的宽度和高度，这样它会较少计算量的同时也使特征检测器对其在输入中的位置更加稳定。下面介绍两种类型的池化层：

• 最大值池化层：在输入矩阵中滑动一个大小为fxf的窗口，选取窗口里的值中的最大值，然后作为输出的一部分。
• 均值池化层：在输入矩阵中滑动一个大小为fxf的窗口，计算窗口里的值中的平均值，然后这个均值作为输出的一部分。

4.1 - Forward Pooling

def pool_forward(A_prev,hparameters,mode="max"):
    """
    实现池化层的前向传播
    
    参数：
        A_prev - 输入数据，维度为(m, n_H_prev, n_W_prev, n_C_prev)
        hparameters - 包含了 "f" 和 "stride"的超参数字典
        mode - 模式选择【"max" | "average"】
        
    返回：
        A - 池化层的输出，维度为 (m, n_H, n_W, n_C)
        cache - 存储了一些反向传播需要用到的值，包含了输入和超参数的字典。
    """
    
    #获取输入数据的基本信息
    (m , n_H_prev , n_W_prev , n_C_prev) = A_prev.shape
    
    #获取超参数的信息
    f = hparameters["f"]
    stride = hparameters["stride"]
    
    #计算输出维度
    n_H = int((n_H_prev - f) / stride ) + 1
    n_W = int((n_W_prev - f) / stride ) + 1
    n_C = n_C_prev
    
    #初始化输出矩阵
    A = np.zeros((m , n_H , n_W , n_C))
    
    for i in range(m):                              #遍历样本
        for h in range(n_H):                        #在输出的垂直轴上循环
            for w in range(n_W):                    #在输出的水平轴上循环
                for c in range(n_C):                #循环遍历输出的通道
                    #定位当前的切片位置
                    vert_start = h * stride         #竖向，开始的位置
                    vert_end = vert_start + f       #竖向，结束的位置
                    horiz_start = w * stride        #横向，开始的位置
                    horiz_end = horiz_start + f     #横向，结束的位置
                    #定位完毕，开始切割
                    a_slice_prev = A_prev[i,vert_start:vert_end,horiz_start:horiz_end,c]
                    
                    #对切片进行池化操作
                    if mode == "max":
                        A[ i , h , w , c ] = np.max(a_slice_prev)
                    elif mode == "average":
                        A[ i , h , w , c ] = np.mean(a_slice_prev)
                        
    #池化完毕，校验数据格式
    assert(A.shape == (m , n_H , n_W , n_C))
    
    #校验完毕，开始存储用于反向传播的值
    cache = (A_prev,hparameters)
    
    return A,cache

我们来测试一下：

np.random.seed(1)
A_prev = np.random.randn(2, 5, 5, 3)
hparameters = {"stride" : 1, "f": 3}

A, cache = pool_forward(A_prev, hparameters, mode = "max")
print("mode = max")
print("A.shape = " + str(A.shape))
print("A[1, 1] =\n", A[1, 1])
print()
A, cache = pool_forward(A_prev, hparameters, mode = "average")
print("mode = average")
print("A.shape = " + str(A.shape))
print("A[1, 1] =\n", A[1, 1])

mode = max
A.shape = (2, 3, 3, 3)
A[1, 1] =
 [[1.96710175 0.84616065 1.27375593]
 [1.96710175 0.84616065 1.23616403]
 [1.62765075 1.12141771 1.2245077 ]]

mode = average
A.shape = (2, 3, 3, 3)
A[1, 1] =
 [[ 0.44497696 -0.00261695 -0.31040307]
 [ 0.50811474 -0.23493734 -0.23961183]
 [ 0.11872677  0.17255229 -0.22112197]]

5 - Backpropagation in Convolutional Neural Networks（选学）

因为在深度学习框架中，已经为您准备好反向传播过程了。

函数实现

def conv_backward(dZ, cache):
     """
    实现卷积层的反向传播
    
    参数：
        dZ - 卷积层的输出Z的 梯度，维度为(m, n_H, n_W, n_C)
        cache - 反向传播所需要的参数，conv_forward()的输出之一
        
    返回：
        dA_prev - 卷积层的输入（A_prev）的梯度值，维度为(m, n_H_prev, n_W_prev, n_C_prev)
        dW - 卷积层的权值的梯度，维度为(f,f,n_C_prev,n_C)
        db - 卷积层的偏置的梯度，维度为（1,1,1,n_C）
    
    """
    #获取cache的值
    (A_prev, W, b, hparameters) = cache
    #获取A_prev的基本信息
    (m, n_H_prev, n_W_prev, n_C_prev) = A_prev.shape
    #获取权重的基本信息
    (f, f, n_C_prev, n_C) = W.shape
    
    # 获取超参的基本信息
    stride = hparameters["stride"]
    pad = hparameters["pad"]
    
    # 获取dZ的基本信息
    (m, n_H, n_W, n_C) = dZ.shape
    
    #初始化各个梯度的结构
    dA_prev = np.zeros(A_prev.shape)                          
    dW = np.zeros(W.shape)
    db = np.zeros(b.shape) # b.shape = [1,1,1,n_C]
    
   #前向传播中我们使用了pad，反向传播也需要使用，这是为了保证数据结构一致
    A_prev_pad = zero_pad(A_prev, pad)
    dA_prev_pad = zero_pad(dA_prev, pad)
    
    for i in range(m):                       # loop over the training examples
        
        # select ith training example from A_prev_pad and dA_prev_pad
        a_prev_pad = A_prev_pad[i]
        da_prev_pad = dA_prev_pad[i]
        
        for h in range(n_H):                   # loop over vertical axis of the output volume
            for w in range(n_W):               # loop over horizontal axis of the output volume
                for c in range(n_C):           # loop over the channels of the output volume
                    
                     #定位切片位置
                    vert_start = stride * h 
                    vert_end = vert_start + f
                    horiz_start = stride * w
                    horiz_end = horiz_start + f

                    #定位完毕，开始切片
                    a_slice = a_prev_pad[vert_start:vert_end,horiz_start:horiz_end,:]

                   #切片完毕，使用上面的公式计算梯度
                    da_prev_pad[vert_start:vert_end, horiz_start:horiz_end, :] += W[:,:,:,c] * dZ[i, h, w, c]
                    dW[:,:,:,c] += a_slice * dZ[i, h, w, c]
                    db[:,:,:,c] += dZ[i, h, w, c]
                    
        #设置第i个样本最终的dA_prev,即把非填充的数据取出来。
        dA_prev[i, :, :, :] = da_prev_pad[pad:-pad, pad:-pad, :]
    
    # Making sure your output shape is correct
    assert(dA_prev.shape == (m, n_H_prev, n_W_prev, n_C_prev))
    
    return dA_prev, dW, db

我们来测试一下：

np.random.seed(1)
A_prev = np.random.randn(10, 4, 4, 3)
W = np.random.randn(2, 2, 3, 8)
b = np.random.randn(1, 1, 1, 8)
hparameters = {"pad" : 2,
               "stride": 2}
Z, cache_conv = conv_forward(A_prev, W, b, hparameters)

# Test conv_backward
dA, dW, db = conv_backward(Z, cache_conv)

print("dA_mean =", np.mean(dA))
print("dW_mean =", np.mean(dW))
print("db_mean =", np.mean(db))

print("\033[92m All tests passed.")

dA_mean = 1.4524377775388075
dW_mean = 1.7269914583139097
db_mean = 7.839232564616838
 All tests passed.

5.2 Pooling Layer - Backward Pass

 Max Pooling - Backward Pass

我们创建了一个掩码矩阵，以保存最大值的位置，当为1的时候表示最大值的位置，其他的为0，这个是最大值池化层，均值池化层的向后传播也和这个差不多，但是使用的是不同的掩码。