最大01互斥矩阵

目录

1.题目
2.算法分析
3.算法实现

  ~  

1.题目：

题目描述

给定 $1$ 个 $1000$ 行×$20$ 列的 $01$ 矩阵,对于该矩阵的任意 $1$ 列,其中值为 $1$ 的元素的数量不超过 $10$.

设有两个非空集合 $A$ 和 $B$,每个集合由矩阵的若干列组成.集合 $A$ 和$B$ 互斥是指对于矩阵的任意一行,同时满足下列 $2$个条件：

$(1)$若$A$中有一个或多个元素在这一行上的值是$1$,则$B$中的元素在这一行全部是$0$;

$(2)$若$B$中有一个或多个元素在这一行上的值是$1$,则$A$中的元素在这一行全部是$0$.

请你设计一个算法，找出一对互斥集合$A$和$B$,使得$A$和$B$包含的列的总数最大.

输入格式

输入$1000$行×$20$列的$01$矩阵.

输出格式

每组输出两行,使得$A$ 和$B$的列数和最大.

第一行输出$A$ 集合中的所有列的编号(下标从$0$开始),以空格分开;

第二行输出$B$集合中的所有编号,格式同上.

如果没有找到非空集合$A$和$B$,则输出两行空行.

为保证输出唯一,每个集合的输出按照升序排列,如果存在并列的情况,则采用以下策略：

⚫ $A$和$B$元素列数差的绝对值最小;

⚫ $A$的列数要大于$B$的列数 ;

⚫ $A$的元素和要小于$B$的元素和.

2.算法分析

（1）状态压缩【二进制搜索】

考虑用二进制对每一个状态进行表示,此即状态压缩

对于$A$而言,假设我们选择了第$0,1,2,3$列,可以使用二进制数表示为:$000...001111$

其中,假设最低位是第$0$位,那么最高位为$19$位

这个数第$k$位上如果为$1$,代表$A$选择了第$k$列,否则未选择第$k$列,

可以把$A$矩阵对列的所有选择方案唯一表示一个$20$位的二进制数

基于这个思想,$A$的所有选择方案可以唯一转化为一个十进制数

这个十进制数的取值范围是$0$到$2^{20}-1$

（2）初步设计【会超时】

显然,我们可以把$A,B$的选择情况都看成一个$20$位的二进制数

遍历所有情况,判断$A,B$是否互斥,并记录最大列数情况下的$A,B$

总计算次数大概为:$2^{20}\times 2^{20}=2^{40}\approx 10^{12}$(次)

$C++$在$1s$大概完成$10^9$次计算,这样的话需要$10^{3}s\approx 17min$

这显然是不可取的,故要进行优化设计.

（3）优化思路【预处理+剪枝】

事实上,当我们确定了$A$的选择方案后,不一定需要遍历$B$的所有情况

当$A$的选择方案确定以后,$B$事实上存在一种最大选择情况

比如,$A$选择第$0,1,2,3$列后,如果第$7,8,9...19$列都和$A$的某些列互斥

那么$B$最多只能选择第$4,5,6$列.

为了快速地在给定$A$的选择后找到$B$的最大选择情况,

我们引入预处理数组$choice[k]$

其中$choice[t]$表示当$A$选择了第$t$列后$B$最多能选择哪些列

举例说明如下:

假设第$1$列与第$3,4,5,6...19$列都矛盾

那么$A$选择了第$1$列后,$B$最多只能选择第$0,2$列

用二进制数作记录,$choice[1]=000...00101$

我们如果把这个二进制数化为十进制数,显然取值范围为:$0$到$2^{20}-1$

所以用int显然已经可以满足需要.

引入了$choice$数组后,快速得到$B$的最大选择方案可以极大减少搜索次数.

设当前$A$选择第$0,1$列,

设$choice[0]=000...01110,choice[1]=000...0101$

表示$A$选择了第$0$列后,$B$最多只能选择第$1,2,3$列

$A$选择了第$1$列后,$B$最多只能选择第$0,2$列

显然$B$最多只能选择第$2$列

我们对$choice[0]$和$choice[1]$作$\&$运算即得$B$的最大选择

$000...01110\&000...0101=000...0100$

（4）优化算法

0.预处理$choice$数组

1.遍历$A$的所有选择情况,即从$0$到$2^{20}-1$

2.根据$choice$数组得到$B$的最大选择方案

3.由于我们总是可以使得$A$的列数不小于$B$

所以如果当前$A$的列数小于$B$就进行下一次循环(剪枝)

否则判断总列数是否大于之前记录的最大列数,若大于则更新.

有相同的列数和时,结合实际情况判断即可

（5）时间复杂度

由于$A$有$20$列可选,至多需要不超过计算$2^{20}$级别,也即$10^6$级别

$C++$显然是可以在$1s$内跑完的.

3.算法实现

基于以上分析,得到算法实现如下:

#include<iostream>
using namespace std;

const int M = 25, N = 1010;
bool judge[M][M];//记录两列是否矛盾
int a[N][M], choice[M];//a数组记录输入
int sum[M];//存储列的和
int ares = -1, bres = -1;//存储A,B的最优选择
//asum,bsum是当前的A,B的元素和
//eps是列数差的绝对值,tc是当前最大列数和
int asum, bsum, eps = 100, tc;
//判断两列是否互斥
bool dispose(int x, int y)
{
    for (int i = 0; i < 1000; i++)
        if (a[i][x] + a[i][y] == 2)return false;
    return true;
}
//预处理judge[][]数组判断两列是否互斥
void init()
{
    for (int i = 0; i < 20; i++)
        for (int j = i + 1; j < 20; j++)
            if (dispose(i, j))judge[i][j] = judge[j][i] = true;
}
//得到choice[]数组
void get_choice()
{
    for (int i = 0; i < 20; i++)
    {
        int sum = 0;
        for (int j = 0; j < 20; j++)
            if (judge[i][j])sum += 1 << j;
        choice[i] = sum;
    }
}

//lowbit函数
int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}
//返回二进制中1的个数
int get_one(int x)
{
    int res = 0;
    while (x)x -= lowbit(x), res++;
    return res;
}
//预处理所有列的和
void get_c()
{
    for (int i = 0; i < 20; i++)
    {
        int res = 0;
        for (int j = 0; j < 1000; j++)
            res += a[j][i];
        sum[i] = res;
    }
}

//得到数x二进制表示中所有列的和
int get_sum(int x)
{
    int k = 0, res = 0;
    while (x)
    {
        if (x & 1)res += sum[k];
        k++;
        x >>= 1;
    }
    return res;
}
//输出答案
void get_answer(int x)
{
    int k = 0, len = 20;
    while (len--)
    {
        if (x & 1)
            cout << k << " ";
        k++;
        x >>= 1;
    }
    cout << endl;
}
//同列数和列数差时比较排序次序
//返回true表示x应在y之后
bool compare(int x, int y)
{
    while (x && y)
    {
        if (lowbit(x) == lowbit(y))
        {
            x -= lowbit(x), y -= lowbit(y);
            continue;
        }
        else
        {
            if (lowbit(x) > lowbit(y))return true;
            return false;
        }
    }
    return false;
}
//更新函数
void update(int i, int j)
{
    ares = i, bres = j;
    tc = asum + bsum;
    eps = asum - bsum;
}

int main()
{
    for (int i = 0; i < 1000; i++)
        for (int j = 0; j < 20; j++)
            cin >> a[i][j];

    //预处理choice[]数组,judge[]数组,sum[]数组
    init(), get_choice(), get_c();
    //遍历A的所有选择
    for (int i = 1; i < 1 << 20; i++)
    {
        int temp = i, k = 0, j = -1;//j初始化-1是因为-1是111...111
        while (temp)
        {
            if (temp & 1)//如果这一位是1
                j = (j & choice[k]);//j和这一位的选择作&
            temp >>= 1;
            k++;
        }
        //得到i,j选择的列数
        asum = get_one(i), bsum = get_one(j);

        if (asum >= bsum && bsum)
        {
            if (asum + bsum > tc)//如果列数更大
                update(i, j);
            else if (asum + bsum == tc)//如果列数一样
            {
                //如果列数差的绝对值更小则更新
                if (asum - bsum < eps)
                    update(i, j);
                else if (asum - bsum == eps)//如果列数差相等
                {
                    if (compare(ares, i))
                        update(i, j);
                    else if(get_sum(ares) >= get_sum(bres) && get_sum(i) < get_sum(j))
                        update(i, j);
                }
            }
        }
    }

    if (~ares)//ares!=-1表示存在非空集合,~是取反,~(-1)=0
        get_answer(ares),get_answer(bres);

    else cout << endl << endl;
    return 0;
}

附加说明：

$lowbit$函数：$lowbit(x)=x\&(-x)$

返回二进制表示下数$x$的最后一位$1$的位置

假设$x>0$,那么~$x$是其按位取反

而$-x$是其相反数,为按位取反再加$1$

$x$的最后$1$位$1$按位取反为$0$,再加$1$那么这$1$位就为$1$

如果把$x$和~$x$作$\&$运算,那么除了最后$1$位1之外其他位置都为$0$

如：假设$x$是4位有符号数

$x=0110,-x=1010,lowbit(x)=x\&(-x)=0010$

$compare$函数：

判断在满足题目所有条件以及排序方式下还存在多个答案的情况下,哪一个答案应该先输出.

如对于$A:1,2,3$, $B:4$和$A:0,1,2$, $B:3$

如果这两组解在所有排序方式下都相同,优先输出$A:0,1,2$(按照选择的列数大小排序,$0,1,2$在$1,2,3$之前,也就是这种情况下不使用$1,2,3$来更新$0,1,2$)

4.数据测试

提供了3组用例供调试使用.

链接：测试用例