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多元函数-行列式,高阶导数,积分的微分法

Obj_Arr 2023-09-21 原文

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行列式是关于方阵的函数,方阵可以对应于算子,所以,行列式就是关于算子的函数。行列式为零代表算子不可逆,奇异,退化。
9.33

首先是定义,这个定义是逆序数,或者说是序列的奇偶性。如果要完全理解这个概念,就需要引入置换群的概念,,其中包括奇置换群和偶置换群,相关的内容还是比较多的。
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行列式的定义,非常抽象。
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通过列向量分解,可以将行列式简化为n交错函数,就像双线性函数,n线性函数一样,交错是由于特殊的系数。简单而言,就是给定n个向量,获得一个数,就如泛函一般。
9.34

行列式的基本运算性质,

  • 单位矩阵行列式为1
  • 某一列倍乘,行列式倍乘
  • 交换两列,行列式变号
  • 两列相等,行列式为零

9.35

乘积的行列式等于行列式的乘积
9.36

行列式不为零,矩阵可逆
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行列式与基无关,所以,相差一个相似矩阵变换,行列式不变。也就是证明了初等变换法求解行列式的有效性。
9.38

函数行列式就是导数矩阵的行列式,朗斯基行列式是初等情形。一般情形是坐标变换矩阵的行列式,或者雅可比行列式。
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反函数定理中的条件,就是函数行列式不为零,保证了坐标变换的非退化性。
9.39

高阶导数不得不引入张量了,不然描述起来非常繁琐,这里没有明显写出分量形式,估计是为了避免涉及张量表示法,那样篇幅就必须加长了。
二阶连续可微函数类,这些符号在不同的书中含义可能不一样。
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二阶连续可微,则求导顺序不影响结果。
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这个定理好像中值定理,不过是二维情形,显得有些复杂。
图示

9.41

二阶连续可微求导顺序不影响结果,相应的定理和推论


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求导和积分换序


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参数索引函数列,二元函数变一元函数列
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看条件
  • 方形区域函数有定义
  • 递增函数,其实是L-S积分中的区间划分
  • 函数列相对于变量x黎曼可积
  • 对参数t导数的连续性
    求导积分可交换。

到此多元函数一章就完结了。当然,看起来似乎内容有些少,不够全面,不过,基本的跳跃过程都给出了,剩下的是高维推广,不难实现。
通过对Rudin的书的学习,也能发现很多国内书籍的问题,内容铺张,重点隐藏,证明繁琐,来源不一。学完之后,只记得几个公式,几个例题,可是彼此之间似乎毫无关联,测试完后,很快遗忘。
所以,有志于深入了解数学的,还要积极向外国取法,毕竟他们的数学发展了数百年,而我们只有短短数十年。

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