今天被问了一个问题：
μ
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
,
x
6
)
d
x
1
d
x
2
d
x
3
d
x
4
d
x
5
d
x
6
σ
2
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
[
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
,
x
6
)
−
μ
]
2
d
x
1
d
x
2
d
x
3
d
x
4
d
x
5
d
x
6
\begin{array}{l} \mu = \int\int\int\int\int\int f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5,x_6)dx_1dx_2dx_3dx_4dx_5dx_6 \\ \sigma^2 = \int\int\int\int\int\int \left[ f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5,x_6)-\mu\right]^2dx_1dx_2dx_3dx_4dx_5dx_6 \end{array}
μ=∫∫∫∫∫∫f(x1,x2,x3,x4,x5,x6)dx1dx2dx3dx4dx5dx6σ2=∫∫∫∫∫∫[f(x1,x2,x3,x4,x5,x6)−μ]2dx1dx2dx3dx4dx5dx6
约束：这个函数f的返回值是一个向量。
要求：用Matlab解决。
function ret = integral6(fun, lb, ub)
% int x2
fx1 = @(x2, x3, x4, x5, x6)integral(@(x1)fun(x1, x2, x3, x4, x5, x6), lb(1), ub(1), 'ArrayValued', 1);
% int x2
dfx2 = @(x2, x3, x4, x5, x6)cell2mat(arrayfun(@(xx2)fx1(xx2, x3, x4, x5, x6), x2, 'UniformOutput', 0));
fx2 = @(x3, x4, x5, x6)integral(@(x)dfx2(x, x3, x4, x5, x6), lb(2), ub(2), 'ArrayValued', 1);
% int x3
dfx3 = @(x3, x4, x5, x6)cell2mat(arrayfun(@(xx3)fx2(xx3, x4, x5, x6), x3, 'UniformOutput', 0));
fx3 = @(x4, x5, x6)integral(@(x)dfx3(x, x4, x5, x6), lb(3), ub(3), 'ArrayValued', 1);
% int x4
dfx4 = @(x4, x5, x6)cell2mat(arrayfun(@(xx4)fx3(xx4, x5, x6), x4, 'UniformOutput', 0));
fx4 = @(x5, x6)integral(@(x)dfx4(x, x5, x6), lb(4), ub(4), 'ArrayValued', 1);
% int x5
dfx5 = @(x5, x6)cell2mat(arrayfun(@(xx5)fx4(xx5, x6), x5, 'UniformOutput', 0));
fx5 = @(x6)integral(@(x)dfx5(x, x6), lb(5), ub(5), 'ArrayValued', 1);
% int x6
dfx6 = @(x6)cell2mat(arrayfun(@(xx6)fx5(xx6), x6, 'UniformOutput', 0));
fx6 = integral(@(x)dfx6(x), lb(6), ub(6), 'ArrayValued', 1);
ret = fx6;
end
看着很玄乎……其实都没啥，一层一层剥洋葱。这个解法唯一的意义在于学习几个函数的用法：arrayfun, cell2mat, integral，以及@定义函数的语法。因为计算时间幂级的，根本没用。
能够在有限时间得到结果的是大名鼎鼎的Monte Carlo法。
关于这个方法的数学，这里不赘述，需要知道的，搜索了sci-hub；那些不知道怎么搜索的，大概率也不需要知道。
function ret = integral6mc(fun, lb, ub, N)
% fun是被积分的函数
% lb和ub是积分变量的范围，每个都是六维数组
% N MC采样的数目，一般取个几千、几万试一下差不多就行
V = prod(abs(ub-lb));
n = length(lb);
sample = (ub-lb) .* rand(N, n) + repmat(lb,N,1);
sample_arguments = num2cell(sample, 1);
results = cell2mat(arrayfun(fun, sample_arguments{:}, 'UniformOutput', 0));
ret = sum(results) * V / N;
这个方法就快多了……
而且，这个函数可以自动适应积分重数，被积函数可以是向量也可以是标量，只要fun的参数个数，lb、ub的大小能够适配就行。
是男人就积分100重啊！！
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