写在前面

以下内容是基于Redis 6.2.6 版本整理总结

一、跳表（skiplist）

如何理解跳表？在了解跳表之前，我们先从普通链表开始，一点点揭开跳表的神秘面纱~

首先，普通单链表来说，即使链表是有序的，我们要查找某个元素，也需要从头到尾遍历整个链表。这样效率很低，时间复杂度是O(n)。

那么有没有方法提升查询效率呢？我们可以尝试为链表建立“索引”来提升查询效率。如下图，我们在原始链表的基础上，每两个元素提取一个索引，down指向原始链表的节点：

此时，假如我们要查询值为19的节点，我们从索引层开始遍历，当遍历到16时，下个节点的值为23，所以，19一定在这两个节点之间。我们通过16节点的down指针来到原始链表，将继续遍历，直到找到值为19的节点。在没有建“索引”之前，我们需要遍历8次，才能找到19，而在建立“索引”后，需要6次就能找到，也就是，索引帮我们减少了查询的次数。

那如果我们再建一级索引呢？哈哈哈，没想到吧也是6次，这是因为我们的数据量太少，即便加了两级索引，优化效果也不是很明显。在数据量大时，优化效果还是很明显的，有兴趣可以自己动手画一画。

1.1 跳表的时间复杂度

假设链表有n个节点，每两个节点生成一个索引，则有第一层索引节点的个数为n/2，第二层索引节点的个数是第一层个数的一半n/4，以此类推，第h层节点的个数就是n/(2^h)。假设，第h层有两个节点，则：h = log2n - 1，再算上原始链表，则整个跳表的高度就是log2n。

我们在查询某个数据的时候，每一层需要遍历m个节点，那么在跳表中查询某个数据的时间复杂度就是：O(m*log2n)。那m是多少呢? 按照上面每两个节点上升一个索引节点的索引结构，我们每一层索引最多遍历3个节点，为什么呢？解释如下：

假设我们查找的还是19，在第k层索引中，当我们遍历到11时，发现19在11和23之间，我们通过11的down节点，来到第k-1层。在第k-1层索引中，11 到 23 最多包含3个节点（包含11 和 23 的节点），所以在第k-1索引，我们最多需要遍历3个节点，依次类推，每一层索引都最多只需要遍历3个节点。

通过上面的分析，我们知道了m = 3，也就是说在跳表中查询任意节点的时间复杂度是O(3*log2n)，去掉常数项后，时间复杂度就是：O(log2n)。这个查找跟二分查找的时间复杂度一样。换句话说，我们是基于单链表实现了二分查找，神奇吧。但是，这种查询效率的提升是有代价的，也就是我们需要维护多层级索引，才能实现。这也是一种空间换时间的思路。

1.2 空间复杂度

要实现log2n的时间复杂度，跳表就需要额外存储这些索引的空间。那么，需要多大的空间呢？我们来分析一下：

假设原始链表有n个节点，按照每连个节点上升一个索引节点的索引结构，第一层有n/2，第二层n/4，依次类推，第h层有n/2^h个索引节点。假设第h层有2个节点。则总共有：
n/2 + n/4 + n/8 + … + 2 = n-2。所以，跳表的空间复杂度是O(n)。

也就是说，如果将含有n个节点的链表构造成跳表，我们还需要额外再用接近n个节点来存储这些索引，还有没有办法较少索引占的空间呢？答案是有的，上面的分析是基于每两个节点上升一个索引节点，那么换成3个、5个呢？如果为3，也很好分析，需要的索引总数为：n/3 + n/9 + n/27 + … + 3 + 1 = n/2。尽管空间复杂还是O(n)，但实际上索引的数量已经减少了一半了。

在实际开发中，原始链表中的对象可能是很大的对象，而索引节点只是存储关键的值和指针，相较于原始节点，大小可以忽略不计。

1.3 跳表的插入和删除

我们想在跳表中插入和删除一个节点，第一步是要找到插入和删除的位置，然后再执行插入或者删除，因为跳表的查询时间复杂度是O(log2n)，插入和删除的时间复杂度也是O(log2n)。

1.3.1 插入

1.3.2 删除

删除操作就需要注意一下，如果删除的节点也存在于索引节点中，那么，索引中的节点也要删除。单链表中的删除，需要拿到前驱节点的指针，如果是双向链表就不用考虑了。

1.4 跳表索引的动态更新

当我们一直往跳表中添加元素，如果不更新索引就可能出现，某2个索引之间的索引数过多，极端情况下，会退化为单向链表。

作为一种动态数据结构，我们需要某种手段作为索引节点和原始链表大小的平衡，也就是说，当链表中的节点数增多时，也响应的增加一些索引节点，避免复杂度的退化。红黑树和AVL树是通过左旋和右旋来维持左右子树的平衡。跳表则是通过随机函数来维护这种平衡。

2、跳表在Redis中的应用

有序集合 zet 的底层实现就是跳表。大部分情况下，跳表的效率可以和平衡树媲美，平均时间复杂度O（logn），最坏O（n）。

2.1 跳表源码

每次创建一个新的跳表节点时，会根据幂次定律（越大的数出现的概率越小）随机生成一个介于1到32之间的数作为level数组的大小，这个数组大小就是层的高度。level层数确定源码：

// src/t_zset.c
int zslRandomLevel(void) {
    int level = 1;
    while ((random()&0xFFFF) < (ZSKIPLIST_P * 0xFFFF))
        level += 1;
    return (level<ZSKIPLIST_MAXLEVEL) ? level : ZSKIPLIST_MAXLEVEL;
}

两个宏定义

// src/sever.h
#define ZSKIPLIST_MAXLEVEL 32 /* Should be enough for 2^64 elements */
#define ZSKIPLIST_P 0.25      /* Skiplist P = 1/4 */

server.h

// 996行
/* ZSETs use a specialized version of Skiplists */
typedef struct zskiplistNode {
	// sds 对象，唯一的
    sds ele;
    // 分值
    double score;
    // 后退指针，用于从后往前遍历使用
    struct zskiplistNode *backward;
    // 层数
    struct zskiplistLevel {
    	// 前进指针
        struct zskiplistNode *forward;
        // 跨度，用来确定本节点再链表中的排位  zrank
        unsigned long span;
    } level[];
} zskiplistNode;

typedef struct zskiplist {
	// 指向跳表头节点和尾节点的指针
    struct zskiplistNode *header, *tail;
    // 跳表中的元素个数，不包含头节点 zcard
    unsigned long length;
    // 跳表中层数最高的节点的层数
    int level;
} zskiplist;

1.3 创建skiplist

zskiplistNode *zslCreateNode(int level, double score, sds ele) {
    zskiplistNode *zn =
        zmalloc(sizeof(*zn)+level*sizeof(struct zskiplistLevel));
    zn->score = score;
    zn->ele = ele;
    return zn;
}

/* Create a new skiplist. */
zskiplist *zslCreate(void) {
    int j;
    zskiplist *zsl;

    zsl = zmalloc(sizeof(*zsl));
    zsl->level = 1;
    zsl->length = 0;
    zsl->header = zslCreateNode(ZSKIPLIST_MAXLEVEL,0,NULL);
    for (j = 0; j < ZSKIPLIST_MAXLEVEL; j++) {
        zsl->header->level[j].forward = NULL;
        zsl->header->level[j].span = 0;
    }
    zsl->header->backward = NULL;
    zsl->tail = NULL;
    return zsl;
}

1.4 跳表的插入和删除

zskiplistNode *zslInsert(zskiplist *zsl, double score, sds ele) {
    zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x;
    unsigned int rank[ZSKIPLIST_MAXLEVEL];
    int i, level;

    serverAssert(!isnan(score));
    x = zsl->header;
    for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) {
        /* store rank that is crossed to reach the insert position */
        rank[i] = i == (zsl->level-1) ? 0 : rank[i+1];
        while (x->level[i].forward &&
                (x->level[i].forward->score < score ||
                    (x->level[i].forward->score == score &&
                    sdscmp(x->level[i].forward->ele,ele) < 0)))
        {
            rank[i] += x->level[i].span;
            x = x->level[i].forward;
        }
        update[i] = x;
    }
    /* we assume the element is not already inside, since we allow duplicated
     * scores, reinserting the same element should never happen since the
     * caller of zslInsert() should test in the hash table if the element is
     * already inside or not. */
    level = zslRandomLevel();
    if (level > zsl->level) {
        for (i = zsl->level; i < level; i++) {
            rank[i] = 0;
            update[i] = zsl->header;
            update[i]->level[i].span = zsl->length;
        }
        zsl->level = level;
    }
    x = zslCreateNode(level,score,ele);
    for (i = 0; i < level; i++) {
        x->level[i].forward = update[i]->level[i].forward;
        update[i]->level[i].forward = x;

        /* update span covered by update[i] as x is inserted here */
        x->level[i].span = update[i]->level[i].span - (rank[0] - rank[i]);
        update[i]->level[i].span = (rank[0] - rank[i]) + 1;
    }

    /* increment span for untouched levels */
    for (i = level; i < zsl->level; i++) {
        update[i]->level[i].span++;
    }

    x->backward = (update[0] == zsl->header) ? NULL : update[0];
    if (x->level[0].forward)
        x->level[0].forward->backward = x;
    else
        zsl->tail = x;
    zsl->length++;
    return x;
}


// 删除
void zslDeleteNode(zskiplist *zsl, zskiplistNode *x, zskiplistNode **update) {
    int i;
    for (i = 0; i < zsl->level; i++) {
        if (update[i]->level[i].forward == x) {
            update[i]->level[i].span += x->level[i].span - 1;
            update[i]->level[i].forward = x->level[i].forward;
        } else {
            update[i]->level[i].span -= 1;
        }
    }
    if (x->level[0].forward) {
        x->level[0].forward->backward = x->backward;
    } else {
        zsl->tail = x->backward;
    }
    while(zsl->level > 1 && zsl->header->level[zsl->level-1].forward == NULL)
        zsl->level--;
    zsl->length--;
}

三、总结

1. 跳表是有序集合zset的实现之一
2. 跳表由zskiplist 和 zskiplistNode两个结构组成，zskiplist保存跳表的信息，如表头和表尾节点、跳表的长度等，zskiplistNode 保存节点详细信息
3. 每个跳表节点的层高都是 1~32 之间的随机数
4. 跳表中的对象是唯一的
5. 跳表中的元素是按照分值从小到大排列，当分值相同时，按照成员对象的大小排序

文章参考与<零声教育>的C/C++linux服务期高级架构系统教程学习