【数据结构初阶】堆排序

清扰077 2023-04-08 原文

前言

前边我们学习了堆的实现，对堆的每个接口都进行了详细的讲解，所以这篇文章就来看一看堆到底有哪些应用。

概念

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。堆排序可以说是一种利用堆的概念来排序的选择排序。分为两种方法：

大顶堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值，在堆排序算法中用于升序排列；
小顶堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值，在堆排序算法中用于降序排列；

堆排序的平均时间复杂度为 Ο(nlogn)。

我们之前学习的冒泡排序的时间复杂度为o(n^2),此处的堆排序确是Ο(nlogn)，这样直接看并不能看出堆排序的优势，如果我们使用数字代入就会发现，如果我们有1000个数，进行排序时，冒泡排序是100万次，若是堆排序只需1万次，对于更大的数差别也会更大，所以堆排序是很有优势的。

堆排序的实现

1.建堆

我们根据上节课的学习，我们知道了向上调整算法和向下调整算法，他们都可以建立一个堆。

我们要切记，需要升序排列时要建一个大堆，需要降序排列时要建一个小堆。

（1）堆向上调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们从第二个位置向上调整，直到最后一个位置的数为止。


void hpSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	//从第二个数开始向上调整
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		adjustUp(a, i);
	}
}

（2）堆的向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

有人可能认为向下调整算法的时间复杂度为o(n*log2n),其实并不是，时间复杂度其实为o(n)，由于在倒数第二层时，每个元素只调整了一次，倒数第三层调整了两次，也可以通过数学公式来证明，通过错位相减法，最终得到了向下调整算法的时间复杂度为o(n)。

void hpSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	//从非叶子结点开始向下调整
	for (int i = (n-1)-1/2; i >= 0; i--)
	{
		adjustDown(a, n, i);
	}
}

从非叶子结点开始调整，可以从最后一个结点的父节点处开始，进行向下调整，直至调整到根节点。

2. 利用堆删除思想来进行排序

（1）当我们要对数据进行降序排列时，我们先建立一个小堆，即父节点的数据小于子节点的数据。

（2）将最后一个结点与第一个结点互换，此时得到的最后一个结点的数据就是最小的数。

（3）此时对第一个结点向下调整，使其恢复成为一个小堆，此时堆顶元素就是整个堆中次小的数。

（4）此时，我们把最后一个结点与原来结点分离，只是看作分离，只是将其余结点从新进行之前的操作，直至堆的大小为1。

void hpSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	//从第二个数开始向上调整
	/*for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		adjustUp(a, i);
	}*/
	//从非叶子结点开始向下调整
	for (int i = (n-1)-1/2; i >= 0; i--)
	{
		adjustDown(a, n, i);
	}

	for(int end=n - 1 ; end > 0 ; end--)
	{
		swap(&a[0], &a[end]);
		adjustDown(a, end ,0);
	}
}

3.堆排序的时间复杂度

我们知道了向下调整算法来建堆的时间复杂度为o(n),所以我们选择向下调整算法来建堆，在建完堆之后，我们就进行交换并且向下调整，排序的时间复杂度为o（n*log2n），所以总和的时间复杂度为o(n*log2n)。

4.源码

hpsort.c

void hpSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	//从第二个数开始向上调整
	/*for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		adjustUp(a, i);
	}*/
	//从非叶子结点开始向下调整
	for (int i = (n-1)-1/2; i >= 0; i--)
	{
		adjustDown(a, n, i);
	}

	for(int end=n - 1 ; end > 0 ; end--)
	{
		swap(&a[0], &a[end]);
		adjustDown(a, end ,0);
	}
}

test.c

void test1()
{
	//TestTopk();
	int a[] = { 70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69 };
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); ++i)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");

	hpSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));

	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); ++i)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");

}

总结

今天我们学习了堆排序的概念，实现，以及时间复杂度，过两天我会继续发布关于各种排序的文章，希望大家支持。

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