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python - 最高后密度区和中央可信区

coder 2023-05-24 原文

给定一些参数Θ的后验p(Θ|D)，可以define以下:

最高后密度区域:

Highest Posterior Density Region 是 Θ 最可能值的集合，总共构成 100(1-α) % 的后部质量。

换句话说，对于给定的 α，我们寻找满足以下条件的 p*:

然后得到Highest Posterior Density Region作为集合:

中央可信区:

使用与上述相同的符号，可信区域(或区间)定义为:

根据分布，可能有许多这样的间隔。 中央可信区间定义为每条尾部上都有(1-α)/2质量的可信区间。

计算:

  • 对于一般分布，给定分布中的样本，是否有任何内置函数可以在 Python 或 PyMC 中获得上述两个量？

  • 对于常见的参数分布(例如 Beta、Gaussian 等)，是否有任何内置函数或库可以使用 SciPy 进行计算？或 statsmodels ?

最佳答案

据我了解，“中央可信区域”与计算置信区间的方式没有什么不同；您所需要的只是 alpha/2 和 1-alpha/2 处的 cdf 函数的反函数；在 scipy 中，这称为 ppf(百分比函数)；高斯后验分布:

>>> from scipy.stats import norm
>>> alpha = .05
>>> l, u = norm.ppf(alpha / 2), norm.ppf(1 - alpha / 2)

验证[l, u]是否覆盖(1-alpha)的后验密度:

>>> norm.cdf(u) - norm.cdf(l)
0.94999999999999996

对于 Beta 后验类似，例如 a=1 和 b=3:

>>> from scipy.stats import beta
>>> l, u = beta.ppf(alpha / 2, a=1, b=3), beta.ppf(1 - alpha / 2, a=1, b=3)

又一次:

>>> beta.cdf(u, a=1, b=3) - beta.cdf(l, a=1, b=3)
0.94999999999999996

here您可以看到 scipy 中包含的参数分布；我猜他们都有 ppf 功能；

至于最高后验密度区域，则比较棘手，因为 pdf 函数不一定是可逆的；通常这样的区域甚至可能没有连接；例如，对于带有 a = b = .5 的 Beta 版(如 here 所示)；

但是，在高斯分布的情况下，很容易看出“最高后密度区域”与“中心可信区域”重合；我认为这是所有对称单峰分布的情况(即，如果 pdf 函数围绕分布模式对称)

对于一般情况，一种可能的数值方法是使用 numerical integration 对 p* 的值进行二进制搜索。 pdf;利用积分是p*的单调函数的事实；

这里是混合高斯的一个例子:

[ 1 ] 首先你需要一个解析pdf函数；对于混合高斯很容易:

def mix_norm_pdf(x, loc, scale, weight):
    from scipy.stats import norm
    return np.dot(weight, norm.pdf(x, loc, scale))

例如位置、比例和重量值，如

loc    = np.array([-1, 3])   # mean values
scale  = np.array([.5, .8])  # standard deviations
weight = np.array([.4, .6])  # mixture probabilities

你会得到两个很好的高斯分布手牵手:

[ 2 ] 现在，您需要一个错误函数，该函数给定 p* 的测试值，在 p* 上方集成 pdf 函数并返回期望值的平方误差 1 - alpha:

def errfn( p, alpha, *args):
    from scipy import integrate
    def fn( x ):
        pdf = mix_norm_pdf(x, *args)
        return pdf if pdf > p else 0

    # ideally integration limits should not
    # be hard coded but inferred
    lb, ub = -3, 6 
    prob = integrate.quad(fn, lb, ub)[0]
    return (prob + alpha - 1.0)**2

[ 3 ] 现在，对于给定的 alpha 值，我们可以最小化误差函数以获得 p*:

alpha = .05

from scipy.optimize import fmin
p = fmin(errfn, x0=0, args=(alpha, loc, scale, weight))[0]

导致 p* = 0.0450，HPD 如下；红色区域代表分布的1 - alpha，水平虚线为p*。

关于python - 最高后密度区和中央可信区，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/22284502/

可信pythoncodestrongalphastatisticsscipystatsmodelspymc

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