基于MATLAB的特殊函数积分

唠嗑！ 2023-04-03 原文

前言

此部分铺垫两个基本的数学概念。

（一）振荡函数的积分

工程问题中有时需要计算如下两种形式的积分：

$I_c(f)=\int_a^bf(x)cos\omega xdx$

$I_s(f)=\int_a^bf(x)sin\omega xdx$

通常 $a=0,b=2\pi$ 。当 $\omega$ 很大时， $cos\omega x$ 与 $sin\omega x$ 在区间(a,b)内与x轴会有很多个交点，此函数也被称之为振荡函数。同样地，当 $\omega$ 很大时， $f(x)cos\omega x$ 与 $f(x)sin\omega x$ 在区间(a,b)内与x轴也会有很多个交点，对上述函数的积分也称之为振荡函数积分。

（二）反常（广义）积分

反常积分包括两种：

1. 无界函数的反常积分

设函数f(x)在区间[a,b)上连续，b为奇异点，若对 $\forall\epsilon>0$ 且 $b-\epsilon>a$ ，称极限 $\lim_{\epsilon\to 0^+}f(x)dx$ 为无界函数f(x)在[a,b)上的反常积分 $\int_a^bf(x)dx$ 。

2. 无穷区间上的反常积分

设对任何大于a的实数b，f(x)在[a,b)上均可积，则称极限 $\lim_{b\to+\infty}f(x)dx$ 为f(x)在无穷区间 $[a,+\infty)$ 上的反常积分 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 。

一. quadgk()函数在MATLAB中的运用

quadgk()函数是MATLAB基于Gauss-Kronrod算法（自适应高斯-勒让德积分法）实现的数值积分函数，该函数可以用来求解振荡函数的积分、广义积分甚至是复数积分。调用格式为：

[q,errbnd]=quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)

解释：

fun是被积函数，可以是字符表达式、内联函数、匿名函数和M函数；

a,b是积分的上限和下限，它们可以为-inf和inf；

parami，vali是指相关属性名及其属性值；

返回的errbnd是绝对误差的近似边界。

二. 基于MATLAB的特殊函数积分

例题一无穷积分

计算 $I=\int_0^\infty e^{-x^2}dx$ 。

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
format long
f1=@(x)exp(-x.^2);  % 定义被积函数
I1=quadgk(f1,0,inf)  % quadgk函数求解无穷积分

运行结果：I1 =0.886226925452758

例题二间断函数积分

$I=\int_1^{10}f(x)dx$

$f(x)=\begin{cases}1000,&x=2\\-100,&x=5\\x^5e^{-x}sinx,&others \end{}$

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
f2=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);  % 定义被积函数
[I2,errbnd] = quadgk(f2,1,10,'Waypoints',[2 5])  
% 其中2,5为间断点,f(2)和f(5)具体取值不影响积分

运行结果：

I2 =-10.940771682195068
errbnd =3.317415541455360e-14

例题三振荡积分

$I(f)=\int_0^\pi e^xcos1000xdx$

解：
MATLAB代码：

clc;clear;
f3=@(x)exp(x).*cos(1000*x);
I3_quad=quad(f3,0,pi)  % quad函数求解，实际上结果是错的
I3_quadgk=quadgk(f3,0,pi,'MaxIntervalCount',1000)  % quadgk函数求解

运行结果：

I3_quad =-0.001476265473678

I3_quadgk =2.214067045838708e-05

例题四复数积分

$I=\int_2^{6-j5}e^{-x^2-jx}sin(7+j2)xdx$

解：
MATLAB代码：

clc;clear;
i=sqrt(-1);
f4=@(x)exp(-x.^2-i*x).*sin((7+2i)*x);  % 定义被积函数
I4=quadgk(f4,2,6-5i)  % 调用quadgk函数求解复数积分问题

运行结果：I4 =-0.924460417702932 +25.792072810727397i

结论

求解积分的函数在MATLAB中不止一个。

quad函数适用于精确地较低，被积函数平滑性较差的数值积分
相比quad函数，quadl函数的精确度较高，被积函数也较为平滑
quadgk函数的精确度最高，可以计算振荡被积函数。同时支持无限区间并且可以处理端点处的适度奇异性。此函数还可以解决沿分段性路径的围道积分。
quadv函数将数组值fun的quad向量化。

MATLAB 基于 latex xff E5 线性代数 $matlab $学习

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