Burnside定理问题：给定一个\(n\)个点，\(n\)条边的环，有\(m\)种颜色，给每个顶点染色，问有多少种本质不同的染色方案，答案对\(10^9+7\)取模注意本题的本质不同，定义为：只需要不能通过旋转与别的染色方案相同。题目初步解读我们考虑如果不要求本质不同只需要\(n^n\)。但因为无标号的环就会重复。例如这是一个4个点，2种颜色的情况：在这里面如果不要求本质不同就有16种方案，若要求，则只有6种。同一行的都是一种方案。Burnside引入我们先来一些定义置换群令集合\(N=\{1,2,\cdots,n\}\)。令集合\(M\)为\(N\)若干个排列构成的集合。令群\(G=(M,

例题给3x3的格子上色，4种颜色，可以重复。排除旋转后相同的情况，请问有多少种不同的上色方法？解答设格子编号如下：|1|2|3||4|5|6||7|8|9|每种旋转是为一种置换，定义为\(g_i\)，共4种置换：\[g_1=\\g_2=\\g_3=\\g_4=\]\(D(g_i)\)表示在\(g_i\)这种置换的作用下没有改变状态的方案集合，\(|D(g_i)|\)表示其元素个数。以下分情况讨论：旋转\(0°\)旋转0°怎么都不会变,计算随便涂的总数即可：\[|D(g_1)|=4^9\]旋转\(90°\){1、3、7、9}循环变换，{2、4、6、8}循环变换，{5}永远不变，置换群为(1379

例题给3x3的格子上色，4种颜色，可以重复。排除旋转后相同的情况，请问有多少种不同的上色方法？解答设格子编号如下：|1|2|3||4|5|6||7|8|9|每种旋转是为一种置换，定义为\(g_i\)，共4种置换：\[g_1=\\g_2=\\g_3=\\g_4=\]\(D(g_i)\)表示在\(g_i\)这种置换的作用下没有改变状态的方案集合，\(|D(g_i)|\)表示其元素个数。以下分情况讨论：旋转\(0°\)旋转0°怎么都不会变,计算随便涂的总数即可：\[|D(g_1)|=4^9\]旋转\(90°\){1、3、7、9}循环变换，{2、4、6、8}循环变换，{5}永远不变，置换群为(1379