一、图论基础图分为有限图与无限图两类，本课只涉及有限图，即顶点和边都是有限集合（2）有向图：每一条边都是有向的无向图：每一条边都是无向的除外都是混合图 注意：有向图边的描述{1.每一条边都需要描述到  2.（3）邻接点：两个结点之间有一条边连接它们，它们就是彼此的邻接点邻接边：连接同一结点的两条边为邻接边孤立结点：没有任何一条边连接它零图：仅由孤立结点构成平凡图：仅由一个孤立结点构成自回路：边的头和尾连接在同一个节点上度数：连接结点的边数（一个环算2条边），记为deg(v) 定理（1）图中，所有结点的度数和=2*图中的边数和（2）度数是奇数的结点的个数必为偶数个 （4）有向图有入度和出度之分：

评价类问题确定评价指标、形成评价体系评价的目标有哪几种评价的方案评价的标准/指标：题目中的背景资料、常识、网上（知网、万方、百度学术、谷歌学术）搜到的参考资料等结合  虫部落‐快搜：https://search.chongbuluo.com/权重分析分而治之的思想，两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果推算权重判断矩阵特点：（1）𝑎ij表示的意义是，与指标𝑗相比，𝑖的重要程度。（2）当i=j时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。（3）𝑎ij> 0且满足𝑎ij*aji=1（我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵)一致矩阵若正互反矩阵满足aij×ajk=aik，则我

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目录一、向量定义二、计算向量三、向量的加法（连续行走）四、向量的长度五、单位向量六、向量的点积1计算2作用七、向量的叉乘1承上启下2叉乘结论3叉乘的计算（这里看不懂就百度叉乘计算）八、欢迎收看Shader专栏一、向量定义向量：从一个点到另一个点的箭头。例：假如现在有两个点，A（0,0）和B点（4,5）。假如从A走向B（如图1），箭头为：图1向量AB假如从B走向A（如图2），箭头为：图2向量BA我们会用A（0,0）表示点A，我们会用B（4,5）表示点B，问题，我们用什么表示和区分这两个箭头？答：如果从A走向B，我们就写成，如果从B走向A，就写成（是不是很形象）。字母确定了，可数字怎么办？答：因为

关于程序员，网络上流传着这样的段子，戏说程序员的等级：一流程序员靠数学，二流靠算法，三流靠逻辑，四流靠SDK，五流靠Google和StackOverFlow，六流靠百度和CSDN，低端的看高端的就是黑魔法！在幽默的玩笑中，其实也暗藏着残忍的现实。在管理学中有一个著名的“木桶理论”，是指用一个木桶装水，如果组成木桶的木板参差不齐，那这个木桶能装多少水则取决于最短的那根木板，这也是我们经常说的“短板效应”。那数学不好的人能不能学习编程呢？对于普通的编程来说，只要具备高中的数学水平就可以了。如果你高中的数学成绩还不错，那学习编程是没有问题的。转行程序员需要具备的能力人与人之间是存在差异的，不同性格和

自从LLaMA被提出以来，开源大型语言模型（LLM）的快速发展就引起了广泛研究关注，随后的一些研究就主要集中于训练固定大小和高质量的模型，但这往往忽略了对LLM缩放规律的深入探索。开源LLM的缩放研究可以促使LLM提高性能和拓展应用领域，对于推进自然语言处理和人工智能领域具有重要作用。在缩放规律的指导下，为了解决目前LLM缩放领域中存在的不明确性，由DeepSeek的AI团队发布了全新开源模型LLMDeepSeekLLM。此外，作者还在这个基础模型上进行了监督微调（SFT）和直接偏好优化（DPO），从而创建了DeepSeekChat模型。在性能方面，DeepSeekLLM67B在代码、数学和推

数学建模 第一章数学建模与数学思想1何谓数学建模2确定性数学3不确定性数学4数学与现实5数学建模与各学科6数学建模与各行业7变量识别8数学建模的步骤9论文写作要求10《数学建模》课程特色11先修课程教材与网站12培养目标13教学方法1何谓数学建模数学建模思维方式：定量思维探讨对象：自然现象、社会现象工程技术、人类自身日常生活中的实际问题探讨模式：1、寻找因素，即识别变量并创建方法量化这些变量2、建立变量之间的定量关系，这种定量关系统称为数学模型3、然后求解所建立的数学模型，并解释、验证求解结果而应用于实际形成的知识体系：1、解决现实问题的同时形成特定的数学思想和建模方法2、建立该数学模型的理论

马尔可夫预测模型（与过去无关）一、定义设有随机过程，其中状态空间为 若对任意的正整数，任意及任意非负整数，有              则称为离散时间的马尔可夫链，简称马尔可夫链或马氏链.其中上式表示的性质为马尔可夫性或无后效性.无后效性的直观意义是：如果把时刻看作现在，那么是将来的时刻，而则是以前的时刻，马尔可夫性表示在确切知道系统现在状态的条件下，系统将来状态的概率分布只与现在的状态有关，与之前的状态无关。二、C-K方程对于任意的正整数及有：根据定理(1.1)C-K方程也可以写成矩阵形式为.因此，我们有步转移概率与一步转移概率之间的关系为步转移概率矩阵与一步转移概率矩阵的关系为三、转移概率

2018年认证杯SPSSPRO杯数学建模对于投篮最佳出手点的探究D题投篮的最佳出手点原题再现：  影响投篮命中率的因素不仅仅有出手角度、球感、出手速度，还有出手点的选择。规范的投篮动作包含两膝微屈、重心落在两脚掌上、下肢蹬地发力、身体随之向前上方伸展、同时抬肘向投篮方向小臂推而伸出、手腕下压、手指弹射，这样能够将脚趾力量完全连贯到手指，这种下肢、手臂、手腕、手指头都充分用到力量的投篮，看起来很柔顺、优美，具有艺术性，命中率高。但是身材相对矮小的组织后卫，如果采用这种规范的投篮动作，势必出手时间较长，给防守者以充分的时间做准备，被盖帽的可能性增大。反之，如果出手点较低，可以缩短从开始发力到篮球出

作者推荐【动态规划】458:可怜的小猪涉及知识点动态规划数学力扣514自由之路电子游戏“辐射4”中，任务“通向自由”要求玩家到达名为“FreedomTrailRing”的金属表盘，并使用表盘拼写特定关键词才能开门。给定一个字符串ring，表示刻在外环上的编码；给定另一个字符串key，表示需要拼写的关键词。您需要算出能够拼写关键词中所有字符的最少步数。最初，ring的第一个字符与12:00方向对齐。您需要顺时针或逆时针旋转ring以使key的一个字符在12:00方向对齐，然后按下中心按钮，以此逐个拼写完key中的所有字符。旋转ring拼出key字符key[i]的阶段中：您可以将ring顺时针或逆