Sarsa算法 是 TD算法的一种，之前没有严谨推导过 TD 算法，这一篇就来从数学的角度推导一下 Sarsa 算法。注意，这部分属于 TD算法的延申。

7. Sarsa算法

7.1 推导 TD target

推导：Derive。

这一部分就是Sarsa 最重要的内核。

折扣回报：$U_t=R_t+\gamma R_{t+1}+\gamma^2 R_{t+2}+\gamma^3 R_{t+3}+\cdots \ \quad={R_t} + \gamma \cdot U_{t+1} $

即 将\(R_{t+1}\)之后 都提出一个 \(\gamma\) 项，后面括号中的式子意义正为 \(U_{t+1}\)

通常认为奖励 \(R_t\)依赖于 t 时刻的状态 \(S_t\) 与 动作 \(A_t\) 以及 t+1 时刻的状态 \(S_{t+1}\)。

当时对于为什么依赖于 \(S_{t+1}\) 有疑问，我回去翻看了 学习笔记1：https://www.cnblogs.com/Roboduster/p/16442003.html ，发现并强调了以下这一点：

“值得注意的是，这个 r1 是什么时候给的？是在状态 state s2 的时候给的。”

状态价值函数 \(Q_\pi({s_t},{a_t}) = \mathbb{E}[U_t|{s_t},{a_t}]\) 是回报 \(U_t\) 的期望；

• 用折扣回报的变换式，把\(U_t\)替换掉：\(Q_\pi({s_t},{a_t}) = \mathbb{E}[{R_t} + \gamma \cdot U_{t+1} |{s_t}{a_t}]\)
• 有两项期望，分解开：\(= \mathbb{E}[{R_t} |{s_t},{a_t}] + \gamma \cdot\mathbb{E}[ U_{t+1} |{s_t},{a_t}]\)

下面研究上式的第二项：\(\mathbb{E}[ U_{t+1} |{s_t},{a_t}]\)

其等于 \(\mathbb{E}[ Q_\pi({s_{t+1}},{a_{t+1}}) |{s_t},{a_t}]\)

Q 是 U 的期望：所以 \(E(E[])=E()\)，期望的期望还是原来的期望；这里是逆用这个性质。这么做是为了让等式两边都有 \(Q_\pi\) 函数，如下：

于是便得到： \(Q_\pi({s_t},{a_t}) =\mathbb{E}[{R_t} |{s_t},{a_t}] + \gamma\cdot\mathbb{E}[ Q_\pi({s_{t+1}},{a_{t+1}}) {s_t},{a_t}] \\ Q_\pi({s_t},{a_t})=\mathbb{E}[{R_t} + \gamma \cdot Q_\pi({S_{t+1}},{A_{t+1}})]\)

右侧有一个期望，但直接求期望很困难，所以通常是对期望求蒙特卡洛近似。

1. \(R_t\) 近似为观测到奖励\(r_t\)
2. \(Q_\pi({S_{t+1}},{A_{t+1}})\)用观测到的 \(Q_\pi({s_{t+1}},{a_{t+1}})\) 来近似
3. 得到蒙特卡洛近似值\(\approx {r_t} + \gamma \cdot Q_\pi({s_{t+1}},{a_{t+1}})\)
4. 将这个值表示为 TD target \(y_t\)

TD learning 目标：让 $Q_\pi({s_t},{a_t}) $ 来接近部分真实的奖励 \(y_t\)。

\(Q_\pi\) 完全是估计，而 \(y_t\) 包含了一部分真实奖励，所以 \(y_t\) 更可靠。

7.2 Sarsa算法过程

这是一种TD 算法。

a. 表格形式

如果我们想要学习动作价值 $Q_\pi({s_t},{a_t}) $，假设状态和动作都是有限的，可以画一个表来表示：

1. 表每个元素代表一个动作价值；
2. 用 Sarsa 算法更新表格，每次更新一个元素；

• 在表格形式中，每次观测到一个四元组\(({s_t},{a_t},{r_t},{s_{t+1}})\)，称为一个 transition

• 根据策略函数 \(\pi\) 随机采样计算下一个动作，记作\({a_{t+1}}\sim\pi(\cdot|{s_{t+1}})\)；

• 计算TD target: \(y_t = {r_t} + \gamma \cdot Q_\pi({s_{t+1}},{a_{t+1}})\)，

  前一部分是观测到的奖励，后面一部分是对未来动作的打分，\(Q_\pi({s_{t+1}},{a_{t+1}})\) 可以通过查表得知。

  表最开始是通过一定方式初始化的（比如随机），然后通过不断计算来更新表格。

  通过查表，还知道\(Q_\pi({s_{t}},{a_{t}})\)的值，可以计算：

• TD error：\(\delta_t = Q_\pi({s_{t}},{a_{t}}) -y_t\)；

• 最后用 \(\delta_t\) 来更新：\(Q_\pi({s_{t}},{a_{t}}) \leftarrow Q_\pi({s_{t}},{a_{t}}) - \alpha \cdot \delta_t\)，并写入表格相应的位置

  $\alpha $是学习率。通过TD error 更新，可以让 Q 更好的接近 \(y_t\)。

每一步中，Sarsa 算法用 \((s_t,a_T,r_t,s_{t+1},a_{t+1})\) 来更新 \(Q_\pi\)，sarsa，这就是算法名字的由来。

b. 神经网络形式

值得留意的是表格形式的假设：假设状态和动作都是有限的，而当状态和动作很多，表格就会很大，很难学习。

• 用神经网络-价值网络 \(q({s},{a};w)\) 来近似\(Q_\pi({s},{a})\)，Sarsa算法可以训练这个价值网络。

  1. actor-critic 那篇用过 Sarsa 算法，想不起来往下看：
  2. q 和 Q 都与 策略函数 \(\pi\) 有关。
  3. 网络参数 \(\omega\) 初始时随机初始化，后续不断更新。

输入状态是 s ，输出就是所有动作的价值

• actor-critic 方法中，q 作为 critic 用来评估 actor；用 sarsa 这一 TD 学习算法更新的价值网络。
• TD target: \(y_t = {r_t} + \gamma \cdot q({s_{t+1}},{a_{t+1}};w)\)
• TD error：\(\delta_t = q({s_{t}},{a_{t}};w) - y_t\)
• Loss: \(\delta_t ^2/2\)，我们的目的是通过更新网络参数 w 来降低 Loss；
• 梯度：\(\frac{\partial\delta_t ^2/2}{\partial w} = \delta_t \cdot \frac{\partial q({s_{t}},{a_{t}};w)}{\partial w}\)
• 梯度下降更新 w：$$w \leftarrow w - \alpha \cdot \delta_t \cdot \frac{\partial q({s_{t}},{a_{t}};w)}{\partial w}$$

7.3 一些解惑 / 有什么不同

这一篇跟第二篇价值学习内容看似很接近，甚至在第四篇 actor-critic 中也有提及，可能会困惑 这个第七篇有什么特别的，我也困惑了一会儿，然后我发现是自己的学习不够仔细：

第二篇和第四篇的 价值网络 学习方法并不同。虽然都用到了 以TD target 为代表的TD 算法。但是两者的学习函数并不相同！

1. Sarsa算法 学习动作价值函数 \(Q_\pi(s,a)\)

2. Actor-Critic 中的价值网络j就是用 Sarsa 训练的

3. 而第二篇 DQN 中的 TD 学习 是训练最优动作价值函数:
   $Q ^*( s , a ) $

   而这种方法在下一篇中很快会提及，这就是 Q-learning 方法。

参考：

TD算法总述

Sarsa算法及其代码