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• 1. 一电路由三个电阻$R_1,R_2,R_3$并联，再与电阻$R_4$串联而成，记$R_k$上电流为$I_k$，电压为$V_k$，在下列情况下确定$R_k$，使电路总功率最小.
• 2. 炼油厂将A、B C三种原料加工成甲乙丙三种汽油。一桶原油加工成汽油的 费用为4元，每天至多能加工汽油14，000桶。
• 3. 某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。每季度的生产费用为$f(x)=ax+b{x}^2(元)$,其中x是该季生产的台数。若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元。
• 4. 钢管下料问题:某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售。从钢管厂进货得到的原材料的长度都是1850mm， 现在顾客需要15根290mm、28 根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10 增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品)，此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.

参考教材：《数学建模与教学实验》第5版
提示：以下是本篇文章正文内容，来自参考教材课后习题。

1. 一电路由三个电阻$R_1,R_2,R_3$并联，再与电阻$R_4$串联而成，记$R_k$上电流为$I_k$，电压为$V_k$，在下列情况下确定$R_k$，使电路总功率最小.

$I_1=4,i_2=6,i_3=8,V_k(2,10)$;
模型建立：
$$\begin{gathered} W=\min {\sum }_{k=1}^4{I}_k^2{R}_k \\ s.t\{\begin{array}{c}{I}_4=I_1+I_2+I_3\\ \frac{2}{I_k}⩽R_k⩽\frac{10}{I_k}\end{array} \end{gathered}$$

lingo求解：

model:
min = I1^2*R1+I2^2*R2+I3^2*R3+I4^2*R4;
I1 = 4;
I2 = 6;
I3 = 8;
I4 = 18;
1/2 < R1;
1/3 < R2;
1/4 < R3;
1/9 < R4;
end

$R_1=0.5,R_2=0.333,R_3=0.25,R_4=0.1111;总功率最小为72$

2. 炼油厂将A、B C三种原料加工成甲乙丙三种汽油。一桶原油加工成汽油的 费用为4元，每天至多能加工汽油14，000桶。

原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、碗含量由下表给出。

原油类别	买入价（元）	买入量（桶）	辛烷值%	硫含量%
A	45	$⩽$ 5000	12	0.5
B	35	$⩽$ 5000	6	2.0
C	25	$⩽$ 5000	8	3.0

汽油类别	卖出价（元）	需求量（桶）	辛烷值%	硫含量%
A	70	3000	$⩾$ 10	$⩽$ 1.0
B	60	2000	$⩾$ 8	$⩽$ 2.0
C	50	1000	$⩾$ 6	$⩽$ 1.0

问如何安排生 产计划，在满足需求的条件下使利润最大？
解：设购买原油ABC用于生产甲乙丙数量分别是$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9$
模型·建立·：
$$\begin{gathered} \max z=356000-45\left(x_1+x_2+x_3\right)-35\left(x_4+x_5+x_6\right)-25\left(x_7+x_8+x_9\right) \\ s.t\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_7=3000\\ {\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_5+{\mathrm{x}}_8=2000\\ {\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_6+{\mathrm{x}}_9=1000\\ {\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3⩽5000\\ {\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5+{\mathrm{x}}_6⩽5000\\ {\mathrm{x}}_7+{\mathrm{x}}_8+{\mathrm{x}}_9⩽5000\\ 12{\mathrm{x}}_1+6{\mathrm{x}}_4+8{\mathrm{x}}_7⩾30000\\ 12{\mathrm{x}}_2+6{\mathrm{x}}_5+8{\mathrm{x}}_8⩾16000\\ 12{\mathrm{x}}_3+6{\mathrm{x}}_6+8{\mathrm{x}}_9⩾6000\\ 0.5{\mathrm{x}}_1+2{\mathrm{x}}_4+3{\mathrm{x}}_7⩽3000\\ 0.5{\mathrm{x}}_2+2{\mathrm{x}}_5+3{\mathrm{x}}_8⩽4000\\ 0.5{\mathrm{x}}_3+2{\mathrm{x}}_6+3{\mathrm{x}}_9⩽1000\\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}⩾0,\mathrm{i}=1,2,\cdots ,9\end{array} \end{gathered}$$

model:
max=356000-45*(x1+x2+x3)+35*(X4+X5+X6)+25*(X7+X8+X9);
X1+X4+X7=3000;
X2+X5+X8=2000;
X3+X6+X9=1000;
X1+X2+X3<=5000;
X4+X5+X6<=5000;
X7+X8+X9<=5000;
12*X1+6*X4+8*X7>=30000;
12*X2+6*X5+8*X8>=16000;
12*X3+6*X6+8*X9>=6000;
0.5*X1+2*X4+3*X7<=3000;
0.5*X2+2*X5+3*X8<=4000;
0.5*X3+2*X6+3*X9<=1000;
end

总收益为126000元。生产计划如下：

	甲	乙	丙
A	2400	800	800
B	0	0	0
C	600	1200	200

3. 某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。每季度的生产费用为$f(x)=ax+b{x}^2(元)$,其中x是该季生产的台数。若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元。

已知厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低?讨论abc变化对计划的影响。

解：设$x_1,x_2,x_3$分别表示工厂三季度生产的发动机数量。
模型建立：
$$\begin{gathered} \min f=a\left(x_1+x_2+x_3\right)+b\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+c\left(2x_1+x_2-140\right) \\ s.t\{\begin{array}{c}{x}_1⩾40\\ x_1+x_2⩾100\\ x_1+x_2+x_3⩾180\\ 0⩽x_1,x_2,x_3⩽100\left(\text{整数}\right)\end{array} \end{gathered}$$

abc带入求解：
matlab求解：

% 主函数（隐函数表达方式）
fun1 = @(x)50*(x(1)+x(2)+x(3))+0.2*(x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2)+4*(2*x(1)+x(2)-140);
% 初始值x0
x0 = [100;100;100];
% 不等式约束线性
a = [1 1 0;1 1 1];
b = [100;180];
% 等式约束
aeq = [];
beq = [];
% 上下限
vlb = [40;0;0];
vub = [100;100;100];
[x,fval] = fmincon(fun1,x0,-a,-b,aeq,beq,vlb,vub)

通过改变abc的值可得：
改变a的值对计划没有影响，b越大，x1越大，x3越小，c越大，生产的就越不剩余，从越小，接近平均生产。

4. 钢管下料问题:某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售。从钢管厂进货得到的原材料的长度都是1850mm， 现在顾客需要15根290mm、28 根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10 增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品)，此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.

为了使总费用最小，应该如何下料?
参考文献：https://blog.csdn.net/Tomjeck/article/details/124883439
解：设xi（i=1,2,3,4）分别为方式i切割钢管的数量，ri j （i=1,2,3,4;j=1,2,3,4）分别为一根钢管用方式i切割290mm（j=1）、315mm（j=1）、350mm（j=1）、455mm（j=1）的数量。
lingo求解：

model:
min=1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4;
x1>x2;
x2>x3;
x3>x4;
r11*x1+r21*x2+r31*x3+r41*x4>=15;
r12*x1+r22*x2+r32*x3+r42*x4>=28;
r13*x1+r23*x2+r33*x3+r43*x4>=21;
r14*x1+r24*x2+r34*x3+r44*x4>=30;
r11+r12+r13+r14<=5;
r21+r22+r23+r24<=5;
r31+r32+r33+r34<=5;
r41+r42+r43+r44<=5;
r11*290+r12*315+r13*350+r14*455>=1750;
r11*290+r12*315+r13*350+r14*455<=1850;
r21*290+r22*315+r23*350+r24*455>=1750;
r21*290+r22*315+r23*350+r24*455<=1850;
r31*290+r32*315+r33*350+r34*455>=1750;
r31*290+r32*315+r33*350+r34*455<=1850;
r41*290+r42*315+r43*350+r44*455>=1750; 
r41*290+r42*315+r43*350+r44*455<=1850;
x1+x2+x3+x4>=19;
x1+x2+x3+x4<=32;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);
@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);
@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);
@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);
@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);

最小费用为21.5。
模式一14根，切290mm1根，切315mm2根,切350mm0根,切455mm2根。
模式二4根，切290mm0根，切315mm0根,切350mm5根,切455mm0根。
模式三1根，切290mm2根，切315mm0根,切350mm1根,切455mm2根。
模式四0根，切290mm1根，切315mm1根,切350mm2根,切455mm1根。