Actor-Critic 是价值学习和策略学习的结合。Actor 是策略网络，用来控制agent运动，可以看做是运动员。Critic 是价值网络，用来给动作打分，像是裁判。

4. Actor-Critic

4.1 价值网络与策略网络构建

a. 原理介绍

状态价值函数：

$ V_\pi(s)=\sum_{{a}}\pi({a}|{s})\cdot Q_\pi({s},{a})$ (离散情况，如果是连续的需要换成定积分)

V 是动作价值函数 \(Q_\pi\) 的期望，\(\pi({s}|{a})\) 策略函数控制 agent 做运动，\(Q_\pi({s},{a})\) 价值函数评价动作好坏。但是上述这两个函数我们都不知道，但是可以分别用一个神经网络来近似这两个函数，然后用Actor-Critic方法来同时学习这两个网络。

策略网络(actor)：用网络 \(\pi({s}|{a};\theta)\) 来近似 \(\pi({s}|{a})\)，\(\theta\) 是网络参数

价值网络(critic)：用网络 \(q({s},{a};w)\) 来近似 \(Q_\pi({s},{a})\)，\(w\) 是网络参数

actor 是一个体操运动员，可以自己做动作，而 agent 想要做的更好，但是不知道怎么改进，这就需要裁判给她打分，这样运动员就知道什么样动作的分数高，什么样动作的分数低，这样就能改进自己，让分数越来越高。

这样：$ V_\pi({s})=\sum_{{a}}\pi({a}|{s})\cdot Q_\pi({s},{a})\approx\sum_a\pi(a|s;\theta)\cdot q(s,a;w)$$

b. Actor 搭建

策略网络。

• 输入：状态 s
• 输出：可能的动作概率分布
• \(\mathcal{A}\) 是动作集，如\(\mathcal{A}\) =
• \(\sum_{a\in\mathcal{A}}\pi(a|s,\theta)=1\)

卷积层 Conv 把 state 变成 一个特征向量 feature ，用一个或多个全连接层 Dense 把特征向量 映射为紫色，归一化处理后得到每个动作的概率。

c. Critic搭建

输入：有两个，状态 s 和动作 a

输出：近似的动作价值函数(scalar)

如果 动作 是离散的，可以用 one-hot coding 来表示，比如向左为[1,0,0]，向右为[0,1,0] ······ 分别用卷积层与全连接层从输入中提取特征，得到两个特征向量，然后把这两个特征向量拼接起来，得到一个更高的特征向量，最后用一个全连接层输出一个实数，这个实数就是裁判给运动员打的分数。这个动作说明，处在状态 s 的情况下，做出动作 a 是好还是坏。这个价值网络可以与策略网络共享卷积层参数，也可以跟策略网络完全独立。

4.2 Actor-Critic Method

同时训练策略网络与动作网络就称为 Actor-Critic Method。

定义：使用神经网络来近似 两个价值函数

训练：更新参数 \(\theta、w\)

• 更新策略网络\(\pi({s}|{a};\theta)\)是为了让\(V({s};\theta,w)\)的值增加
  • 监督信号仅由价值网络提供
  • 运动员actor 根据裁判critic 的打分来不断提高自己的水平
• 更新价值网络\(q({s},{a};w)\)是为了让打分更精准
  • 监督信号仅来自环境的奖励
  • 一开始裁判是随机打分，但是会根据环境给的奖励提高打分水平，使其接近真实打分。

步骤总结：

1. 观测状态 \(s_t\)
2. \(s_t\) 作为输入，根据策略网络 \(\pi({\cdot}|{s_t};\theta_t)\) 随机采样一个动作 \(a_t\)
3. 实施动作 \(a_t\) 并观测新状态 \(s_{t+1}\) 以及奖励 \(r_t\)
4. 用奖励 \(r_t\) 通过 TD 算法 在价值网络中更新 w，让裁判变得更准确
5. 使用 策略梯度算法 在策略网络中更新\(\theta\)，让运动员技术更好

a. TD 更新价值网络

• 用价值网络 Q 给 动作\(a_t、a_{t+1}\) 打分，即计算 \(q({s_t}, {a_t} ;w_t)\) 与 \(q({s_{t+1}},{a_{t+1}};w_t)\)

• 计算TD target：\(y_t = {r_t} + \gamma \cdot q({s_{t+1}},{a_{t+1}};w_t)\)，

  比对上一篇笔记中的策略学习，需要用蒙特卡洛来近似\(q({s_t},{a_t} ;w_t)\)，而使用价值网络来近似更真实一些。

• 损失函数是预测值与部分真实值之间的差。

  Loss值: \(L(w)=\frac{1}{2}[q({s_t},{a_t};w)-y_t]^2\)

• 梯度下降：\(W_{t+1} = w_t -\alpha \cdot \frac{\partial L(w)}{\partial w}|w=w_t\)

b. 策略梯度更新策略网络

状态价值函数 V 相当于运动员所有动作的平均分：

\(V({s};\theta,w)=\sum_a\pi({s}|{a};\theta)\cdot q({s},{a};w)\)

策略梯度：函数 \(V({s};\theta,w)\) 关于参数 \(\theta\) 的导数

• \(g({a},\theta)=\frac{\partial log \pi({a}|{s};\theta)}{\partial \theta} \cdot q({s},{a};w)\),这里 q 相当于裁判的打分
• \(\frac{\partial V(s;\theta;w_t)}{\partial \theta} = \mathbb{E}_{A}[g({A},\theta)]\)策略梯度相当于对函数 g 求期望，把 A 给消掉，但是很难求期望，用蒙特卡洛近似取样求就行了。

算法：

根据策略网络随机抽样得到动作 a ：\({a} \sim \pi(\cdot|{s_t};\theta_t)\) 。

对于 \(\pi\) 随机抽样保证\(g(a,\theta)\)是无偏估计

有了随机梯度 g，可以做一次梯度上升：\(\theta_{t+1} = \theta_t + \beta \cdot g({a},\theta_t)\)，此处 \(\beta\) 是学习率。

c. 过程梳理

下面我们以运动员和裁判的例子梳理一下过程：

首先，运动员（左侧的策略网络）观测当前状态 s ，控制 agent 做出动作 a；运动员想要进步，但它不知道怎样变得更好（或者没有评判标准），因此引入裁判来给予运动员评价：

运动员做出动作后，裁判员（价值网络）会根据 a 和 s 对运动员（策略网络）打一个分 q，这样运动员根据 q 来改进自己：

运动员的“技术”指的是 策略网络中的参数，我们此前认定参数越好，我们的效果就越好。在这个模型中，运动员拿到 s、q 以及 a来计算 策略梯度，通过梯度上升来更新参数。通过改进 “技术”，运动员的平均分（就是value q）会越来越高。

但值得注意的是：至此，运动员一直是在裁判的评判下进行的，他的标准 q 是裁判给的。运动员的平均分 q 越高也不能说明真实水平的上升。我们还需要提升裁判的水平。

增加一个想法：我觉得 actor-critic 的思想是两部分，一是让 评判标准更接近上帝 的想法，二是 在给定评判标准下 让执行效果拿到更大的分数。

对于 价值网络/裁判 来说 初始的打分是随机的。裁判要靠 奖励r 来提高打分的水平，这里奖励r 就相当于 上帝的判断。价值网络根据 a、s、r 来给出分数 q ，通过相邻两次的分数 \(q_t、q_{t+1}\) 以及 \(r_t\)，使用 TD 算法 来更新参数，提高效果

d. 算法总结

下面稍微正式一点的总结一下：

1. 观测旧状态 \(s_t\)，根据策略网络\(\pi({\cdot}|{s_t};\theta_t)\)随机采样一个动作\(a_t\)

2. agent 执行动作\(a_t\)；环境会告诉我们新的状态\(s_{t+1}\)和奖励\(r_t\)

3. 拿新的状态\(s_{t+1}\)作为输入，用策略网络\(\pi\)计算出新的概率并随机采样新的动作：\({\tilde{a}_{t+1}} \sim \pi({\cdot}|{s_{t+1}};\theta_t)\)，这个动作只是假想的动作，agent不会执行，只是拿来算下 Q 值。

4. 接下来算两次价值网络的输出：\(q_t=q({s_t},{a_t};w_t)和q_{t+1}=q({s_{t+1}},{\tilde{a}_{t+1}};w_t)\)，\({\tilde{a}_{t+1}}\)用完就丢掉了，并不会真正执行；

5. 计算TD error：\(\delta_t = {q_t}-\underbrace{({r_t}+\gamma \cdot {q_{t+1}})}_{TD \\\ target}\)

6. 对价值网络求导：\(d_{w,t} = \frac{\partial q({s_t},{a_t};w)}{\partial w}|w=w_t\)

   这一步 torch 和 tensenflow 都可以自动求导。

7. TD算法 更新价值网络，让裁判打分更精准：\(w_{t+1}=w_t - \alpha \cdot \delta_t\cdot d_{w,t}\)

8. 对策略网络$$\pi$$求导：\(d_{\theta,t}=\frac{\partial log \pi({a_t}|{s_t},\theta)}{\partial \theta}|\theta=\theta_t\)

   同理，可以自动求导

9. 用梯度上升来更新策略网络，让运动员平均成绩更高：\(\theta_{t+1} = \theta_t + \beta \cdot {q_t} \cdot d_{\theta,t}\)，这里\({q_t} \cdot d_{\theta,t}\)是策略梯度的蒙特卡洛近似。

每一轮迭代做以上9个步骤，且制作一次动作，观测一次奖励，更新一次神经网络参数。

根据策略梯度算法推导，算法第 9 步用到了 \({q_t}\)，它是裁判给动作打的分数，书和论文通常拿 \({\delta_t}\) 来替代 \({q_t}\)。\({q_t}\) 是标准算法，\({\delta_t}\) 是Policy Gradient With Baseline(效果更好)，都是对的，算出来期望也相等。

Baseline是什么？接近 \(q_t\) 的数都可以作为 Baseline，但不能是 \(a_t\) 的函数。

至于为什么baseline效果更好，因为可以更好的计算方差，更快的收敛。

这里的等价后面再讨论。这里先理解。

4.3 总结

我们的目标是：状态价值函数：$ V_\pi({s})=\sum_{{a}}\pi({a}|{s})\cdot Q_\pi({s},{a})$，越大越好

• 但是直接学 \(\pi\) 函数不容易，用神经网络-策略网络 \(\pi({s}|{a};\theta)\) 来近似
• 计算 策略梯度 的时候有个困难就是不知道动作价值函数 \(Q_\pi\)，所以要用神经网络-价值网络\(q({s},{a};w)\)来近似。

在训练时：

• agent由 策略网络(actor) 给出动作 \(a_t \sim \pi(\cdot|{s_t};\theta)\)
• 价值网络 q 辅助训练 \(\pi\)，给出评分

训练后：

• 还是由策略网络给出动作\(a_t \sim \pi(\cdot|{s_t};\theta)\)
• 价值网络 q 不再使用

如何训练：

用策略梯度来更新策略网络：

• 尽可能提升状态价值：$ V_\pi({s})=\sum_a\pi(a|s;\theta)\cdot q(s,a;w)$
• 计算策略梯度，用蒙特卡洛算： \(\frac{\partial V(s;\theta;w_t)}{\partial \theta} = \mathbb{E}_{A}[\frac{\partial \\\ log \\\ \pi({a}|{s};\theta)}{\partial \theta} \cdot q({s},{a};w)]\)
• 执行梯度上升。

TD 算法更新价值网络

• \(q_t = q(s_t,a_t;w)\)是价值网络是对期望回报的估计；

• TD target：\(y_t = r_t + \gamma \cdot \mathop{max}\limits_{a} q(s_{t+1},a_{t+1};w)\)，\(y_t\)也是价值网络是对期望回报的估计，不过它用到了真实奖励，因此更靠谱一点，所以将其作为 target，相当于机器学习中的标签。

• 把\(q_t与y_t\)差值平方作为损失函数计算梯度：

  \(\frac{\partial(q_t-y_t)^2/2}{\partial w} = (q_t-y_t)\cdot\frac{\partial q(s_t,a_t;w)}{\partial w}\)

• 梯度下降，缩小\(q_t与y_t\)差距。

x. 参考教程

• 视频课程：深度强化学习（全）_哔哩哔哩_bilibili
• 视频原地址：https://www.youtube.com/user/wsszju
• 课件地址：https://github.com/wangshusen/DeepLearning
• 笔记参考：
  • https://zlq7m64rhg.feishu.cn/drive/folder/fldcnvII4pZn6rjElhDTte1O7yD
  • actor-critic：https://zlq7m64rhg.feishu.cn/docs/doccnSetOEiIayMEbCwXMVMow6e#