文章目录闭区间套定理描述闭区间套定理理解闭区间套定理证明业余爱好者学习温故数学知识，做个记录。闭区间套定理描述如果数列{an},{bn}\{a_n\},\{b_n\}{an},{bn}满足：(1)an−1≤an≤bn≤bn−1, ∀na_{n-1}\leqa_n\leqb_n\leqb_{n-1},\\\\\forallnan−1≤an≤bn≤bn−1, ∀n(2)limn→∞(bn−an)=0\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0limn→∞(bn−an)=0则有:(1).数列{an},{bn}\{a_n\},\{b_n\}{an},{bn
GPT-4被吹的神乎其神，作为具备视觉能力的GPT-4版本——GPT-4V，也被大众寄于了厚望。但如果告诉你，初中生都知道的勾股定理，只适用于直角三角形。然而GPT-4V却自信将其用于钝角三角形中计算斜边长度。还有更离谱的，GPT-4V直接犯了致命的安全错误，竟然认为红灯可以行驶。这到底是怎么回事呢？马里兰大学的研究团队在探索过程中发现了这些问题，并在此基础上提出了两种主要的错误类型：语言幻觉和视觉错觉，以此来阐释这些错误的原因。图片论文链接：https://arxiv.org/abs/2310.14566项目主页：https://github.com/tianyi-lab/Hallusion
背景作为长链条严格推理的典范，数学推理被认为是衡量语言模型推理能力的重要基准，GSM8K和MATH等数学文字问题（mathwordproblem）数据集被广泛应用于语言模型的测评和比较中。事实上，数学作为一项科学研究并不仅仅包括计算具体实例，还包括推演一般性的定理。不同于简单的计算问题仅仅需要验证最终的结果与答案是否匹配，定理的证明要求对数学概念拥有更严格的理解，而这种定理证明的正确性是难以通过直接的自然语言生成和判别或是简单的程序调用就能够完成的。正如自然语言处理希望能够使用计算机直接对人类语言进行数字化计算一样，对于数学对象的数字化也有着数十年的探索，甚至现代形式逻辑的诞生在很大程度上也正
我们来补习一下统计学习框架的正式模型。输入一个学习者可以访问以下内容作用域集合(Domainset)：一个任意的集合\(\mathcalX\)，学习者的目标是对其上面的元素进行标记。标签集合(Labelset)：所有可能的标签\(\mathcalY\)。许多时候被限制为\(\{0,1\}\)或\(\{-1,1\}\)，因为有限标签的问题可以通过多层二标签解决。训练数据(Trainingdata)：或称训练集(Trainingset)。\(S=((x_1,y_1),\ldots,(x_m,y_m))\)是一个取自\(\mathcalX\times\mathcalY\)的有限序列，即一些带标签的元
计算机发展历史和核心定理公式概述计算机是一种现代化的电子设备，它能够进行数据的处理、存储、检索和传输等操作。计算机的发展历程可以追溯到二十世纪初期，经过多年的发展和进步，计算机已经成为现代社会不可或缺的工具。本文将介绍计算机的发展历史和一些核心的定理公式。计算机历史1.机械计算机时代在二十世纪初期，机械计算机是计算机的主要形式。这种机械计算机使用齿轮、滑轮和螺旋等机械部件进行计算。其中最著名的是查尔斯·巴贝奇的分析机，这是一种巨型的机械计算机，被认为是计算机的鼻祖。虽然分析机从未完全建造出来，但它的设计思想对计算机的发展产生了深远的影响。2.电子管计算机时代20世纪40年代，电子管计算机开始出
整数规划是一类要求问题的解中的全部或一部分变量为整数的数学规划，应用范围极其广泛。不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用，而且在计算机设计、系统可靠性和经济分析等方面也有新的应用。通过前面的学习，我们已经掌握了整数规划的数学模型、割平面法、分支定价法、0-1整数规划和指派问题，了解了求解目标规划的MATLAB以及Python相关代码。一、整数规划问题1例题11问题描述一汽车厂生产小、中、大三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润以及每月工厂钢材、劳动时间的现有量如下表所示，试制定月生产计划，使工厂的利润最大。进一步讨论：由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，则至少要
一定义概括地说：随机变量Y是随机变量X的函数。设g(x)是一给定的连续函数，称Y=g(X)为随机变量X的一个函数，Y也是一个随机变量。当X取值时，Y取值 .本文讨论连续型随机变量函数。定理1:设X为连续型随机变量，其概率密度为，设g(x)是一严格单调的可导函数，其值域为( α, β), 且g'(x) ≠0, 记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的概率密度从定理可以看出，我们要确定g(x)是为了求出反函数h(y), 进而求出导数h'(y),h(y)是以y为自变量的表示x的函数。 二 看例题题1题2设随机变量X在区间(0, 1)服从均匀分布， 求Y=eˣ的概率密度解：先用第一
「学习笔记」组合计数与中国剩余定理点击查看目录目录「学习笔记」组合计数与中国剩余定理知识点排列错排列组合数式子一些性质卢卡斯定理谔项式定理谔项式反演形式零形式一形式谔小技巧：线性推阶乘逆元中国剩余定理（CRT）做法证明EXCRTExLucas问题拆为CRT构造余数构造函数代码例题排列组合排队题意思路CodeCombination思路Code[SDOI2016]排列计数思路代码[ZJOI2010]排列计数思路代码BZOJ2839集合计数思路代码牡牛和牝牛思路代码序列统计思路代码[SDOI2009]虔诚的墓主人思路代码[SDOI2010]地精部落思路代码[ZJOI2011]看电影思路代码中国剩余定
标题~本系列文章主要用于笔者期末复习，行文混乱，请见谅备考补充及零碎知识点弱对偶定理推论最优性强对偶定理互补松弛性✨证明过程(推荐看一看)换言之:对偶变量和松弛变量的乘积为0例子应用影子价格定义内涵注意问题检验数的意义问题问题：什么是退化的最优解对偶问题的引入从另一个角度思考总结对偶问题的一般形式原问题对偶问题✨以矩阵描述(更加直观)多做题,就知道什么是对偶了对称形式非对称形式✨✨✨【一定要掌握】规律推导过程复习单纯形法计算过程举例说明对偶单纯形法单纯形法基本思路❓问题：怎么（什么时候）添加人工变量❓问题：有非零人工变量怎么办对偶单纯形法基本思路确定初始基解问题为什么对偶问题的最优性一直都是满
文章目录1、大数定律1.1、弱大数定理（辛钦大数定理）1.2、伯努利大数定理2、中心极限定理2.1、独立同分布的中心极限定理2.2、李雅普诺夫定理2.3、棣莫弗——拉普拉斯定理2.4、中心极限定理的应用2.4.1、独立同分布的中心极限定理的应用2.4.2、棣莫弗——拉普拉斯定理的应用前言：极限定理是概率论的基本理论，在理论研究和应用中起着重要的作用，其中最重要的是称为大数定律和中心极限定理的一些定理。1、大数定律大数定律是叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值在某些条件下收敛到这些项的均值的算术平均值。也就是从总体中抽出一部分样本，在某种条件下，样本均值是很有可能接近总体均值的。这个条件就是n
