一、概念个数排成的m行n列的表格二、运算法则三、初等变换（1）用非零常数k乘矩阵的某一行（列）；（2）互换矩阵某两行（列）的位置；（3）把某行（列）的k倍加至另一行（列）。称为矩阵的初等行（列）变换，统称初等变换。矩阵经初等行变换后秩不变。初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。用初等矩阵P左（右）乘矩阵A，其结果PA（AP）就是对矩阵A作一次相应的初等行（列）变换。初等矩阵均可逆，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵，即等价：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作。矩阵等价的充分必要条件是，存在可逆矩阵P与Q，使。四、特殊矩阵转置矩阵：矩阵A的行换成同序数的列得到的

线性基导入线性基，顾名思义，就是一个包含数字最少的集合，使得原集合中的任何数都能用线性基中的元素表示。集合中的元素满足一些性质：原集合中的任意元素都可以用线性基中的若干元素的异或和表示线性基中任意数异或和不为000，否则不满足集合大小最小以任意顺序枚举原集合中元素，所得集合大小相同大小为nnn的线性基可以表示2n2^n2n个数；若线性基中存在二进制第iii位为111的数，则可以表示2n−12^{n-1}2n−1个二进制下第iii位为111的数。操作插入我们用数组p表示线性基，假设要插入xxx，从高到低枚举xxx的二进制的每一位数字，如果xxx的第iii位为111且pi=0p_i=0pi​=0，

前置定义1　设TTT是线性空间VnV_nVn​中的线性变换，在VnV_nVn​中取定一个基α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_nα1​,α2​,⋯,αn​，如果这个基在变换TTT下的像（用这个基线性表示）为{T(α1)=a11α1+a21α2+⋯+an1αn)T(α2)=a12α1+a22α2+⋯+an2αn)⋯⋯⋯T(αn)=a1nα1+a2nα2+⋯+annαn)(1)\left\{\begin{aligned}&T(\boldsymbol{\alpha}_1)=

麻省理工学院-MIT-线性代数（我愿称之为线性代数教程天花板）_哔哩哔哩_bilibili MIT—线性代数笔记00-知乎(zhihu.com)一、求解Ax=0计算零空间矩阵A的零空间即满足Ax=0的所有x构成的向量空间。取  (A的列向量并不线性无关)对于矩阵A进行“行操作”并不会改变Ax=b的解，因此也不会改变零空间。（但是会改变列空间。）此处不需要应用增广矩阵，因为等号右侧的向量b=0。 矩阵的秩（rank）就是矩阵的主元的个数。本例中矩阵A和U的秩均为2。矩阵中包含主元的列为主元列（pivotcolumn），不包含主元的列称为自由列（freecolumn）。特解当我们将系数矩阵变换为上

目录1，矩阵的初等变换1.1，初等变换1.2，增广矩阵 ​1.3，定义和性质1.4，行阶梯型矩阵、行最简型矩阵1.5，标准形矩阵 1.6，矩阵初等变换的性质 2，矩阵的秩 3，线性方程组的解 1，矩阵的初等变换1.1，初等变换初等变换包括三种：交换行或列、某行或列乘以一个非零系数、某行或列加上零一行或列的k倍。1.2，增广矩阵  增广矩阵：方程组的系数矩阵和常数矩阵组成的矩阵。方程组：对应的增广矩阵：1.3，定义和性质矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。待补充：使用Matlab判断两个矩阵是否等价。1.4，行阶梯型矩阵、行最简型矩阵 对于任何矩阵，都可以通过有限次初等行变换把它变为行

线性代数：矩阵的秩1.定义矩阵的秩（Rank）是线性代数中一个非常重要的概念，表示一个矩阵的行向量或列向量的线性无关的数量，通常用r(A)r(\boldsymbol{A})r(A)表示。具体来说：对于一个m×nm\timesnm×n的实矩阵A\boldsymbol{A}A，它的行秩r(A)r(\boldsymbol{A})r(A)定义为A\boldsymbol{A}A的各行向量的线性无关的最大数量；对于一个m×nm\timesnm×n的实矩阵A\boldsymbol{A}A，它的列秩r(A)r(\boldsymbol{A})r(A)定义为A\boldsymbol{A}A的各列向量的线性无关的最

一、伴随矩阵 （1）定义     A为一个n阶矩阵，行列式|A|的每个元素aij的代数余子式Aij组成的矩阵叫做伴随矩阵，记作A*；（2）运算规则    a. 如果A矩阵可逆，A*=|A|A^-1    b. |A|=|A|^(n-1)    c. (kA)*=k^(n-1)A*二、逆矩阵（1）定理    a. 若矩阵的行列式结果值不等于0，那么这个矩阵就是可逆的；    b. 矩阵A的逆矩阵表示为A^-1；（2）逆矩阵的运算规则        a. 如果A矩阵可逆，那么A的逆矩阵也是可逆的，且A的逆矩阵的逆矩阵就是A矩阵；    b. 对（λA）取逆矩阵，则( λA)^-1=1/λ* A^-

AA∗矩阵相乘，刚好是行列式展开的定义AA^*矩阵相乘，刚好是行列式展开的定义AA∗矩阵相乘，刚好是行列式展开的定义矩阵提取一个因子∣A∣，所有元素需要除∣A∣矩阵提取一个因子|A|，所有元素需要除|A|矩阵提取一个因子∣A∣，所有元素需要除∣A∣那么为什么其他位置的元素是0那么为什么其他位置的元素是0那么为什么其他位置的元素是0即行列式第i行元素和第j行的代数余子式乘积为0？即行列式第i行元素和第j行的代数余子式乘积为0？即行列式第i行元素和第j行的代数余子式乘积为0？以三阶行列式为例以三阶行列式为例以三阶行列式为例用第二行的元素乘第一行的代数余子式用第二行的元素乘第一行的代数余子式用第二行

目录0参考的知识点和目录1向量1.1向量的概念1.2向量如何表示1.3向量/矩阵的优秀表示方法：即向量空间内的有向线段2矩阵2.1 矩阵就是多个列向量的集合/合并（&而不是+），矩阵就是多个列向量的一种简化书写方式？2.2矩阵的加法 =等价于= 向量的加法2.3矩阵的数乘 =等价于= 向量的数乘 2.4矩阵的点乘=等价于= 列向量（或者行向量）的点乘3矩阵的特点3.1矩阵里不同位置的元素，影响范围是指定的有规律的3.1.1矩阵里数字的位置和影响范围3.2矩阵的本质是旋转和缩放3.2.1各种缩放/旋转的矩阵效果3.2.2矩阵里数字的效果0参考的知识点和目录1向量1.1向量的概念向量/数组：一组有

文章目录引言一、二次型的基本概念及其标准型1.2基本定理1.3二次型标准化方法1.配方法2.正交变换法写在最后引言了解了关于二次型的基本概念以及梳理了矩阵三大关系后，我们继续往后学习二次型的内容。一、二次型的基本概念及其标准型1.2基本定理定理1——（标准型定理）任何二次型XTAX\pmb{X}^T\pmb{AX}XTAX总可以经过可逆的线性变换X=PY\pmb{X=PY}X=PY，即P\pmb{P}P为可逆矩阵，把二次型f(X)f(\pmb{X})f(X)化为标准型，即f(X)=YT(PTAP)Y=l1y12+l2y22+⋯+lmym2,f(\pmb{X})=\pmb{Y}^T(\pmb{P